Es bezeichne einen Vektorraum mit Skalarbereich. Dann heißt jede Funktion welche in mindestens einer Inputvariablen linear ist, ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt, falls für alle (hermitesche Symmetrie) und für alle (g ist positiv-semi-definit) gilt! Gilt zusätzlich auch noch für (Definitheit), so nennt man g ein komplexes Skalarprodukt. Man sagt dann, dass zusammen mit einen komplexen Prähilbertraum bildet. Alternativ schreibt man auch je nach Anwendung für .
Durch ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt kann für eine Längen- und Winkelmessung durch
(Norm bzw. Betrag oder auch Länge des Vektor bzgl. )
(Winkel zwischen zwei Vektoren bzgl. )
eingeführt werden, da aufgrund des positiv-semi-definiten Verhaltens von stets (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung) gilt!
Bemerkungen:
Man sagt, dass zwei Vektoren mit bzgl. orthogonal zueinander sind. Falls gilt, entspricht dies einem Winkel von °. Umgekehrt impliziert ein Winkel von ° zwischen zwei Vektoren jedoch nicht mehr dieOrthogonalität bzgl. , da dann lediglich zu gelten braucht!
Im Falle wird als Standardskalarprodukt das Skalarprodukt (engl.: dotproduct) eingesetzt. Diese Produkt erweitert das bekannte euklidische Skalarprodukt des reellen Vektorraumes .
Das komplexe Skalarprodukt ist durch formale Erweiterung des reellen Skalarproduktes entststanden.
In der Quantenphysik werden speziell die Notationen und zur Bildung eines Skalarproduktes (BRAKET) verwendet!
Fasst man die Bedingung der Definitheit und das positiv-semi-definite Verhalten von g zusammen, so spricht man von der positiven Definitheit von g, d.h. es gilt zusammengefasst für alle . Fordert man die Linearität konkret in der 'zweiten' Komponente so spricht man speziell von einer positiv-definiten Sesquilinearform.