Komplexes Skalarprodukt

Es bezeichne $V$ einen Vektorraum mit Skalarbereich $\C$ . Dann heißt jede Funktion $g:V\times V \to \C$ welche in mindestens einer Inputvariablen linear ist, ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt, falls $g(v,w)=\overline{g(w,v)}$ für alle $v,w\in V$ (hermitesche Symmetrie) und $g(v,v) \in [0|\infty )$ für alle $v\in V$ (g ist positiv-semi-definit) gilt! Gilt zusätzlich auch noch $g(v,v)\ne 0$ für $v\in V\setminus\{\cal O\}$ (Definitheit), so nennt man g ein komplexes Skalarprodukt. Man sagt dann, dass $V$ zusammen mit $g$ einen komplexen Prähilbertraum bildet. Alternativ schreibt man auch je nach Anwendung $<v,w>_g := g(v,w) =: <v||w>$ für $v,w\in V$ .

Durch ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt kann für $v,w\in V$ eine Längen- und Winkelmessung durch

$||v||_g := \sqrt{g(v,v)} \qquad$ (Norm bzw. Betrag oder auch Länge des Vektor $v$ bzgl. $g$ )
$\angle_g (v,w) := \arccos \left( \frac {\tn{Re}(g(v,w))}{||v||_g\cdot ||w||_g}\right) \tn{ falls } ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g \qquad$ (Winkel zwischen zwei Vektoren $v,w$ bzgl. $g$ )

eingeführt werden, da aufgrund des positiv-semi-definiten Verhaltens von $g$ stets $|\tn{Re}(g(v,w))|\le |g(v,w)| \le ||v||_g\cdot ||w||_g$ (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung) gilt!

Bemerkungen:

Man sagt, dass zwei Vektoren $v,w\in V$ mit $g(v,w)=0$ bzgl. $g$ orthogonal zueinander sind. Falls $||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g$ gilt, entspricht dies einem Winkel von $\frac {\pi }2=90$ °. Umgekehrt impliziert ein Winkel von $\frac {\pi }2=90$ ° zwischen zwei Vektoren jedoch nicht mehr die Orthogonalität bzgl. $g$ , da dann lediglich $\tn{Re}(g(v,w))=0$ zu gelten braucht!
In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann ein reelles Pseudo-Skalarprodukt bzgl. einer vorgegebenen Basis auch durch ihre Gram'sche Matrix charakterisiert werden.
Im Falle $V:={\C}^n$ wird als Standardskalarprodukt das Skalarprodukt $\vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_{\C} := g_{\C}(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot \overline w_k$ (engl.: dotproduct) eingesetzt. Diese Produkt erweitert das bekannte euklidische Skalarprodukt des reellen Vektorraumes ${\cal R}^n$ .
Das komplexe Skalarprodukt ist durch formale Erweiterung des reellen Skalarproduktes entststanden.
In der Quantenphysik werden speziell die Notationen $<v|$ und $|w>$ zur Bildung eines Skalarproduktes $<v||w>$ (BRA KET) verwendet!
Fasst man die Bedingung der Definitheit und das positiv-semi-definite Verhalten von g zusammen, so spricht man von der positiven Definitheit von g, d.h. es gilt zusammengefasst $g(v,v) \in (0|\infty )$ für alle $v\in V\setminus\{\cal O\}$ . Fordert man die Linearität konkret in der 'zweiten' Komponente so spricht man speziell von einer positiv-definiten Sesquilinearform.

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