Komplexes Skalarprodukt

Es bezeichne V einen Vektorraum mit Skalarbereich \C . Dann heißt jede Funktion g:V\times V \to \C welche in mindestens einer Inputvariablen linear ist, ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt, falls g(v,w)=\overline{g(w,v)} für alle v,w\in V  (hermitesche Symmetrie) und g(v,v) \in [0|\infty ) für alle v\in V (g ist positiv-semi-definit) gilt! Gilt zusätzlich auch noch g(v,v)\ne 0 für v\in V\setminus\{\cal O\} (Definitheit), so nennt man g ein komplexes Skalarprodukt. Man sagt dann, dass V zusammen mit g einen komplexen Prähilbertraum bildet. Alternativ schreibt man auch je nach Anwendung <v,w>_g := g(v,w) =: <v||w> für v,w\in V.

Durch ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt kann für v,w\in V eine Längen- und Winkelmessung durch

  • ||v||_g := \sqrt{g(v,v)} \qquad (Norm bzw. Betrag oder auch Länge des Vektor v bzgl. g)
  • \angle_g (v,w) := \arccos \left( \frac {\tn{Re}(g(v,w))}{||v||_g\cdot ||w||_g}\right) \tn{ falls } ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g \qquad (Winkel zwischen zwei Vektoren v,w bzgl. g)

eingeführt werden, da aufgrund des positiv-semi-definiten Verhaltens von g stets |\tn{Re}(g(v,w))|\le |g(v,w)| \le ||v||_g\cdot ||w||_g (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung) gilt!

Bemerkungen:

  • Man sagt, dass zwei Vektoren v,w\in V mit g(v,w)=0 bzgl. g orthogonal zueinander sind. Falls ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g gilt, entspricht dies einem Winkel von \frac {\pi }2=90°. Umgekehrt impliziert ein Winkel von \frac {\pi }2=90° zwischen zwei Vektoren jedoch nicht mehr die Orthogonalität bzgl. g, da dann lediglich  \tn{Re}(g(v,w))=0 zu gelten braucht!
  • In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann ein reelles Pseudo-Skalarprodukt bzgl. einer vorgegebenen Basis auch durch ihre Gram'sche Matrix charakterisiert werden.
  • Im Falle V:={\C}^n wird als Standardskalarprodukt das Skalarprodukt \vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_{\C} := g_{\C}(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot \overline w_k (engl.: dotproduct) eingesetzt. Diese Produkt erweitert das bekannte euklidische Skalarprodukt des reellen Vektorraumes {\cal R}^n.
  • Das komplexe Skalarprodukt ist durch formale Erweiterung des reellen Skalarproduktes entststanden.
  • In der Quantenphysik werden speziell die Notationen <v| und |w> zur Bildung eines Skalarproduktes <v||w> (BRA KET) verwendet!
  • Fasst man die Bedingung der Definitheit und das positiv-semi-definite Verhalten von g zusammen, so spricht man von der positiven Definitheit von g, d.h. es gilt  zusammengefasst g(v,v) \in (0|\infty ) für alle v\in V\setminus\{\cal O\}. Fordert man die Linearität konkret in der 'zweiten' Komponente so spricht man speziell von einer positiv-definiten Sesquilinearform.

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