Riemann-integrierbar

Eine komplexwertige Funktion F:I\to \C auf einem Intervall I\subseteq\R heißt Riemann-integrierbar genau dann, wenn für jedes a,b\in I das Riemann Integral von a nach b der reellwertigen Funktionen \tn{Re}\circ F, \tn{Im}\circ F:I\to\R existiert (vgl. hierzu die Definition der Riemann-Integrierbarkeit)! In diesem Falle schreibt man

\int\limits_a^b f(t)\ dt := \int\limits_a^b \tn{Re}(f(t))\ dt + j\cdot \int\limits_a^b \tn{Im}(f(t))\ dt

Bemerkung:

  • Die auf einem kompakten Intervall I beschränkten Funktionen die 'fast überall stetig' sind (d.h. das die Menge aller Unstetigkeitsstellen das eindimensionale Lebesgue'sche Inhaltsmaß Null besitzt, also eine 'eindimensionale Nullmenge' darstellt), charakterisieren genau die Menge aller Riemann-integrierbaren Funktionen auf I.
  • Somit ist sowohl die Addition als auch die Multiplikation zweier auf einem kompaktem Intervall I Riemann-integrierbarer Funktionen wieder Riemann-integrierbar!
  • Die Erweiterung der Integration auf 'Lebesgue-messbare' Integrationsbereiche im {\cal R}^n sowie Lebesgue-integrierbare Funktionen stellt in vielen Bereichen der Mathematik (wie etwa die der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik) die Grundlage für weitere Betrachtungen dar! Das Thema der 'Differentiation unter dem Integralzeichen' als auch die Frage nach der 'Integration von Grenzfunktiionen' können dort allgemein beantwortet werden! Die konkrete Berechnung deartiger Integrale kann zudem auf die geschachtelte 'mehrfache' Integration über eindimensionale Integrationsbereiche zurückgeführt werden! 

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