differenzierbar

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und z_0\in D\subseteq \mathbb{K} ein innerer Punkt von D (bzgl. des Grundraumes \mathbb{K}), dann heißt die Funktion f:D\to\C kurz \mathbb{K}-differenzierbar (oder auch reell-differenzierbar wenn \mathbb{K}=\R , bzw. komplex-differenzierbar wenn \mathbb{K}=\C ist) im Punkt z_0, falls es eine \mathbb{K}-lineare Funktion df_{z_0}:\mathbb{K} \to\C gibt, welche die im (allg. nicht-lineare) Änderung \Delta f_{z_0}(h) := f(z_0+h) - f(z_0) zur Schrittweite h\in \mathbb{K}\setminus\{0\}, z_0+h\in D wie folgt annähert:

\lim\limits_{h\to 0} \left(\frac {|\Delta f_{z_0}(h) - df_{z_0}(h)|}{|h|}\right) = 0

 

Die \mathbb{K}-lineare Funktion df_{z_0} heißt das Differential von f im Punkt z_0, während die spezielle Zahl f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) die Ableitung von f im Punkt z_0 genannt wird. Da das Differential eine '\mathbb{K}-lineare' Funktion ist ergibt sich dessen konkrete Gestalt zu:

df_{z_0}(h) = df_{z_0}(1)\cdot h = f^{\prime }(z_0) \cdot h \qquad (h\in \mathbb{K})

» Schlagwortkatalog