differenzierbar

Es sei $\mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ und $z_0\in D\subseteq \mathbb{K}$ ein innerer Punkt von $D$ (bzgl. des Grundraumes $\mathbb{K}$ ), dann heißt die Funktion $f:D\to\C$ kurz $\mathbb{K}$ -differenzierbar (oder auch reell-differenzierbar wenn $\mathbb{K}=\R$ , bzw. komplex-differenzierbar wenn $\mathbb{K}=\C$ ist) im Punkt $z_0$ , falls es eine $\mathbb{K}$ -lineare Funktion $df_{z_0}:\mathbb{K} \to\C$ gibt, welche die im (allg. nicht-lineare) Änderung $\Delta f_{z_0}(h) := f(z_0+h) - f(z_0)$ zur Schrittweite $h\in \mathbb{K}\setminus\{0\}, z_0+h\in D$ wie folgt annähert:

$\lim\limits_{h\to 0} \left(\frac {|\Delta f_{z_0}(h) - df_{z_0}(h)|}{|h|}\right) = 0$

Die $\mathbb{K}$ -lineare Funktion $df_{z_0}$ heißt das Differential von $f$ im Punkt $z_0$ , während die spezielle Zahl $f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1)$ die Ableitung von $f$ im Punkt $z_0$ genannt wird. Da das Differential eine ' $\mathbb{K}$ -lineare' Funktion ist ergibt sich dessen konkrete Gestalt zu:

$df_{z_0}(h) = df_{z_0}(1)\cdot h = f^{\prime }(z_0) \cdot h \qquad (h\in \mathbb{K})$

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