Ableitung

Eine in einem inneren Punkt $z_0\in D_0 \subseteq \mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ (bzgl. des Grundraumes $\mathbb{K}$ ) $\mathbb{K}$ -differenzierbare Funktion $f:D_0 \to \C$ besitzt im Punkte $z_0$ die sogenannte Ableitung $f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) \in \mathbb{K}$ . Gemäß der Definition der Differenzierbarkeit ergibt sich die Ableitung auch direkt durch die Grenzwertbildung:

$f^{\prime }(z_0) = \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac {f(z_0+h) - f(z_0)}{h}\right)$

Betrachtet man die Menge $D \subseteq D_0$ aller Punkte in denen $f\$ $\mathbb{K}$ -differenzierbar ist, so bildet $D$ eine 'offene' Teilmenge von $D_0$ auf der dann die Ableitungsfunktion $f^{\prime }:D \to \C$ definiert ist! Man nennt die Funktion $f$ auch eine Stammfunktion zu $f^{\prime }$ . (vgl. auch 'Ableitungstabelle')

Bemerkung:

Die Stetigkeit einer Funktion stellt bereits ein hinreichendes Kriterium zur Existenz von Stammfunktionen bereit wie der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung belegt!
Ableitungsfunktionen müssen jedoch im allgemeinen weder stetig, noch beschränkt oder auch nur Riemann- oder Lebesgue-integrierbar sein wie etwa die Ableitungsfunktion der reell-differenzierbaren Funktion $f:\R\to\R$ definiert durch $f(x) := x^2\cdot \sin \left(\frac 1{x^2}\right)\quad (x\in\R\setminus\{0\})$ und $f(0) := 0$ zeigt!
Unstetige Ableitungsfunktionen besitzen bemerkenswerterweise jedoch auch niemals Sprungstellen! (Vgl. Satz von Darboux)

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