Taylorpolynom

Zu \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und einer m-mal \mathbb{K}-differenzierbaren Funktion f: D \to \C auf einem in \mathbb{K} offenen Definitionsbereich D\subseteq \mathbb{K} wird zu einem sogenannten Entwicklungspunkt z_0\in D und n\le m ein Näherungspolynom (das sogenannte Taylorpolynom zu f im Entwicklungspunkt z_0 der Ordnung n) durch

p_{f,n,z_0}(z) := \sum\limits_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}\cdot (z-z_0)^k \qquad (z\in \C )

bereitgestellt. Zur Abschätzung der Restfehlerfunktion (auch kurz Restglied genannt)

R_{f,n,z_0}(z) := f(z)-p_{f,n,z_0}(z) \quad (z\in D)

kann für n<m und z_0+t\cdot (z-z_0)\in D für alle t\in [0|1] die allgemeine Integraldarstellung

R_{f,n,z_0}(z) = \frac {(z-z_0)^{n+1}}{n!} \int\limits_0^1 (1-t)^n\cdot f^{(n+1)}(z_0+t\cdot (z-z_0))\,dt

verwendet werden. Ist darüber hinaus f auf B(z_0,R) \subseteq D\subseteq \C = \mathbb{K} mit R\in (0|\infty ) sogar komplex-differenzierbar, so ist f sogar bel. oft komplex-differenzierbar und es gilt:

\lim\limits_{n\to \infty } R_{f,n,z_0}(z) = 0 \quad (\text{ f\"ur }|z-z_0|<R)

bzw.

f(z) = \lim\limits_{n\to \infty } p_{f,n,z_0}(z) =: \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}\cdot (z-z_0)^k \quad (\text{ f\"ur } |z-z_0|<R)

 (Taylorreihendarstellunng von f im Entwicklungspunkt z_0)

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