Konvergenz von Zahlen- und Vektorfolgen

Eine Folge (a_n)_{n\in\N } komplexer Zahlen heißt konvergent mit Grenzwert g\in\C genau dann, wenn es zu jeder Vorgabe \varepsilon\in (0|\infty ) ein hierzu geeignetes n_0\in\N so gibt, dass für alle n\in\N mit n\ge n_0 die Folgenglieder a_n in der Kreisscheibe um g mit Radius \varepsilon liegen, d.h. also |a_n-g| < \varepsilon gilt.

Als Kurznotation dieser Aussage verwendet man: '\lim\limits_{n\to\infty } (a_n) = g' oder auch 'a_n\to g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty '

Der Begriff der Konvergenz erweitert sich in natürlicher Weise auf Folgen (\vec a_n)_{n\in\N } komplexer Zahlenspalten einer bel. endlichen Dimension, indem man die Existenz eines Grenzvektors \vec g fordert für den die Konvergenz der Zahlenfolge \lim\limits_{n\to\infty } |\vec a_n - \vec g| = 0 gezeigt werden kann. 

Als Kurznotation verwendet man auch hier : '\lim\limits_{n\to\infty }(\vec a_n) = \vec g' bzw. '\vec a_n\to \vec g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty '

Eine Zahlen- oder Vektorfolge die nicht konvergent ist heißt divergent.

Bemerkung:

  • Jede konvergente Folge ist beschränkt, jedoch nicht jede beschränkte Folge konvergent (wie etwa a_n := (-1)^n\ \ (n\in\N ) zeigt).
  • Gilt a_n\in (0|\infty ) für alle n\in\N als auch \lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0, so ist (a_n)_{n\in\N } nach oben unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen \infty ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' \lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = \infty .
  • Gilt analog a_n\in (-\infty |0) für alle n\in\N als auch \lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0, so ist (a_n)_{n\in\N } nach unten unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen -\infty ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' \lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = -\infty .

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