Reelles Skalarprodukt

Es bezeichne V einen Vektorraum mit Skalarbereich \R . Dann heißt jede Funktion g:V\times V \to \R welche in mindestens einer Inputvariablen linear ist, ein reelles Pseudo-Skalarprodukt, falls g(v,w)=g(w,v) für alle v,w\in V  (Symmetrie) und g(v,v) \ge 0 für alle v\in V (g ist positiv-semi-definit) gilt! Gilt zusätzlich auch noch g(v,v)\ne 0 für v\in V\setminus\{\cal O\} (Definitheit), so nennt man g ein reelles Skalarprodukt. Man sagt dann, dass V zusammen mit g einen reellen Prähilbertraum bildet. Alternativ schreibt man auch je nach Anwendung <v,w>_g := g(v,w) =: <v||w> für v,w\in V.

Durch ein reelles Pseudo-Skalarprodukt kann für v,w\in V eine Längen- und Winkelmessung durch

  • ||v||_g := \sqrt{g(v,v)} \qquad (Norm bzw. Betrag oder auch Länge des Vektor v bzgl. g)
  • \angle_g (v,w) := \arccos \left( \frac {g(v,w)}{||v||_g\cdot ||w||_g}\right) \tn{ falls } ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g \qquad (Winkel zwischen zwei Vektoren v,w bzgl. g)

eingeführt werden, da aufgrund des positiv-semi-definiten Verhaltens von g stets |g(v,w)| \le ||v||_g\cdot ||w||_g (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung) gilt!

Bemerkungen:

  • Man sagt, dass zwei Vektoren v,w\in V mit g(v,w)=0 bzgl. g orthogonal zueinander sind. Falls ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g gilt, entspricht dies einem Winkel von \frac {\pi }2=90°.
  • In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann ein reelles Pseudo-Skalarprodukt bzgl. einer vorgegebenen Basis auch durch ihre Gram'sche Matrix charakterisiert werden.
  • Im Falle V:={\cal R}^n wird als Standardskalarprodukt das euklidische Skalarprodukt \vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_e := g_e(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot w_k (engl.: dotproduct) eingesetzt.
  • Der Begriff des Skalarproduktes kann mit einer leichten Abwandlung auch auf Vektorräume mit Skalarbereich \C verallgemeinert werden. Man spricht dann von einem komplexen Skalarprodukt bzw. einem komplexen Prähilbertraum.
  • In der Quantenphysik werden speziell die Notationen <v| und |w> zur Bildung eines Skalarproduktes <v||w> (BRA KET) verwendet!
  • Fasst man die Bedingung der Definitheit und das positiv-semi-definite Verhalten von g zusammen, so spricht man von der positiven Definitheit von g, d.h. es gilt  zusammengefasst g(v,v) > 0 für alle v\in V\setminus\{\cal O\}. Aufgrund der Symmetrie bildet g dann eine positiv-definite Bilinearform.

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