Euklidisches Skalarprodukt

Als Grundlage der euklidischen Geometrie für den reellen Vektorraum {\cal R}^n der reellen Zahlenspalten mit n Komponenten wird das spezielle reelle Skalarprodukt g_e: {\cal R}^n\times {\cal R}^n \to \R \ (euklidisches Skalarprodukt) definiert durch

\vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_e := g_e(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot w_k \qquad (v,w\in {\cal R}^n)

(engl.: dotproduct) verwendet.

Damit wird die euklidische Längen- und Winkelmessung festgelegt durch:

  • |\vec v| := ||\vec v||_{g_e} := \sqrt{\vec v\bullet \vec v} \tn{ f\"ur } v\in {\cal R}^n\quad (euklidische Norm bzw. Betrag von \vec v)
  • \angle (\vec v,\vec w) := \arccos \left( \frac {\vec v\bullet \vec w}{|\vec v|\cdot |\vec w|}\right) \tn{ f\"ur } v,w\in {\cal R}^n\setminus\{\vec 0\}\quad (euklidischer Winkel zwischen \vec v und \vec w)

Bemerkungen:

  • Die Idee des Skalarproduktes kann in vielfältiger Weise als auf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden (vgl. allgemeines reelles Skalarprodukt oder auch komplexes Skalarprodukt).
  • Durch ein Skalarprodukt soll dabei stets bewertet werden wie stark ein Vektor einem anderen 'ähnelt'. Somit bewertet die 'Orthogonalität', d.h. g(v,w)=0, die maximale Unähnlichkeit von v und w.

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