Gram'sche Matrix

Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Skalarbereich \mathbb{K}\in\{\R,\C\} ,d.h. ein Vektorraum,  welcher von linear unabhängigen Vektoren b_1,\ldots b_n\in V aufgespannt wird (V = \tn{span}(b_1,\ldots b_n)). Dann kann jede in beiden Inputvariablen mindestens reell-lineare Funktion  g:V\times V \to \mathbb{K} welche zudem g(\alpha\cdot v_1,\beta \cdot v_2) = \overline \alpha \cdot \beta \cdot g(v_1,v_2) für alle v_1,v_2\in V und \alpha,\beta\in \mathbb{K} erfüllt, bzgl. der vorgegebenen Basis {\cal B} :=(b_1,\ldots b_n) eindeutig durch eine Matrix G({\cal B})=\left(g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} (Gram'sche Matrix) Zahlen via

g(v,w) = \sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^n \overline \alpha_k\cdot g_{k,l}({\cal B})\cdot \beta_l   mit   v=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot b_k   und   w=\sum\limits_{l=1}^n\beta_l\cdot b_l

(d.h. hierin benennen \alpha_k, \beta_l \in\mathbb{K} die 'Koordinaten' der Vektoren bzgl. der Basis {\cal B}) beschrieben werden. Die Matrixelemente sind zudem durch die Beziehung g_{k,l}({\cal B}) = g(b_k,b_l) charakterisiert.

Bemerkungen:

  • Verwendet man im Falle V={\cal R}^n die Standardbasis (\vec e_1,\ldots ,\vec e_n), so besitzt etwa das euklidische Skalarprodukt g_e  die Einheitsmatrix als Gram'sche Matrix und die Komponenten von Spaltenvektoren bilden gleichzeitig die Koordinaten bzgl. der Standardbasis.
  • Im {\cal R}^m mit n\le m ergibt sich etwas allgemeiner für bel. linear-unabhängige Vektoren \vec b_1,\ldots \vec b_n\in {\cal R}^m  und V := \tn{span}(\vec b_1,\ldots \vec b_n)\subseteq {\cal R}^m die Gram'sche Matrix zu {\cal B} := (\vec b_1,\ldots \vec b_n) bzgl. des euklidischen Skalarprodukts g_e konkret zu G({\cal B}) = {\cal B}^{tr}\cdot {\cal B} und bildet eine reelle positiv-definite Matrix mit (in diesem Falle notwendigerweise) positiver Determinante.
  • Ist \mathbb{K}=\R und die Gram'sche Matrix eine symmetrische und positiv-definite Matrix, so beschreibt die bilineare Funktion g stets ein reelles Skalarprodukt (auch Metriktensor oder metrischer Tensor genannt). Ist die Gram'sche Matrix lediglich symmetrisch und umkehrbar (bzw. regulär), so heißt g auch ein Pseudo-Metriktensor oder auch pseudometrischer Tensor. Diese werden im Rahmen der Relativitätstheorie (n=4) benötigt.

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