Orthogonalität

Es sein V ein Vektorraum mit Skalarbereich \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und g:V\times V \to\mathbb{K} eine in jeder der beiden Inputvariablen mindestens reell-lineare Funktion. Dann nennt man einen Vektor v\in V  orthogonal zu w\in V (bzgl. g) genau dann, wenn g(w,v) = 0 gilt.

Bemerkungen:

  • Wird etwa durch linear-unabhängige Vektoren b_1,\ldots ,b_n\in V via U := \tn{span}(b_1,\ldots ,b_n) ein Untervektorraum von V mit Basis {\cal B} := (b_1,\ldots ,b_n) beschrieben zu dem die Gram'sche Matrix G({\cal B}) = \left(g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} mit g_{k,l}({\cal B}) := g(b_k,b_l) umkehrbar (bzw. regulär) als auch die konjugiert-komplexe Umkehrmatrix \overline{G^{-1}({\cal B})} =: \widetilde G({\cal B}) =\left(\widetilde g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} gegeben ist und gilt zudem für \alpha,\beta\in \mathbb{K} die Regel  g(\alpha\cdot u_1,\beta\cdot u_2) = \overline \alpha\cdot \beta\cdot g(u_1,u_2) für alle u_1,u_2\in U, so läßt sich mit Hilfe der zur Basis {\cal B} assoziierten Vektoren \widetilde b_k :=\sum\limits_{l=1}^n\widetilde g_{k,l}({\cal B})\cdot b_l\in U jeder Vektor v\in V durch die lineare orthogonale Projektion {\cal P}_U: V\to U auf U in einen eindeutigen Anteil u:={\cal P}_U(v) := \sum\limits_{k=1}^n g(\widetilde b_k,v)\cdot b_k\in U sowie einen dazu orthogonalen Rest u^{\perp } := v-u zerlegen! Insbesondere ergibt sich speziell {\cal P}_U(v) = v falls v\in U ist und damit die k-te Koordinate zu v\in U bzgl. der vorgegebenen Basis durch \underline {\widetilde b}_k(v):=g(\widetilde b_k,v). Man nennt die Koordinatenbestimmungsfunktionen \underline {\widetilde b}_1,\ldots, \underline {\widetilde b}_n auch 'duale Basisvektoren', während man \widetilde {\cal B} := ({\widetilde b}_1,\ldots, {\widetilde b}_n) als die zu {\cal B} 'reziproke Basis' von U bezeichnet. Oft werden anstelle der \widetilde { } Notation 'obere Indizes' sowie die Einstein'sche Summationskonvention verwendet.
  • Ist g sogar ein reelles Skalarprodukt, so entspricht die Orthogonalität zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren der Aussage, dass sie bzgl. der durch das Skalarprodukt eingeführten Winkelmessung einen Winkel von \frac {\pi }2=90° zueinander aufweisen! Eine derartige Winkelmessung ist jedoch bei einem komplexen Skalarprodukt nicht mehr möglich.
  • Bei Verwendung des euklidischen Skalarproduktes beschreibt die euklidische Winkelmessung den 'anschaulich-intuitiven' Winkelbegriff. 

 

 

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