Es sein ein Vektorraum mit Skalarbereich und eine in jeder der beiden Inputvariablen mindestens reell-lineare Funktion. Dann nennt man einen Vektor orthogonal zu (bzgl. ) genau dann, wenn gilt.
Bemerkungen:
Wird etwa durch linear-unabhängige Vektoren via ein Untervektorraum von mit Basis beschrieben zu dem die Gram'sche Matrix mit umkehrbar (bzw. regulär) als auch die konjugiert-komplexe Umkehrmatrix gegeben ist und gilt zudem für die Regel für alle , so läßt sich mit Hilfe der zur Basis assoziierten Vektoren jeder Vektor durch die lineare orthogonale Projektion auf in einen eindeutigen Anteil sowie einen dazu orthogonalen Rest zerlegen! Insbesondere ergibt sich speziell falls ist und damit die -te Koordinate zu bzgl. der vorgegebenen Basis durch . Man nennt die Koordinatenbestimmungsfunktionen auch 'duale Basisvektoren', während man als die zu 'reziproke Basis' von bezeichnet. Oft werden anstelle der Notation 'obere Indizes' sowie die Einstein'sche Summationskonvention verwendet.
Ist sogar ein reelles Skalarprodukt, so entspricht die Orthogonalität zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren der Aussage, dass sie bzgl. der durch das Skalarprodukt eingeführten Winkelmessung einen Winkel von ° zueinander aufweisen! Eine derartige Winkelmessung ist jedoch bei einem komplexen Skalarprodukt nicht mehr möglich.
Bei Verwendung des euklidischen Skalarproduktes beschreibt die euklidische Winkelmessung den 'anschaulich-intuitiven' Winkelbegriff.