Grenzwertbildung von Funktionswerten

Es sei D\subseteq\C sowie f:D\to\C eine Funktion, sowie z_0\in \overline D\ (Abschluss der Menge D). Falls es eine Zahl g\in\C so gibt, dass für alle konvergenten Folgen (a_n)_{n\in\N } aus D mit Grenzwert z_0 auch die Folge der Funktionswerte stets gegen den gleichen Wert g = \lim\limits_{n\to\infty } f(a_n) konvergieren, dann schreibt man hierfür abkürzend: \lim\limits_{z\to z_0} f(z) = g.

Bemerkung:

  • Wie etwa die Funktion f:\R\setminus\{0\} \to\R definiert durch f(x) := \cos\left(\frac {\pi }x\right)\ (x\in\R\setminus\{0\})\ für z_0 := 0 zeigt, braucht eine solche Grenzwertbildung im allgemeinen nicht immer möglich zu sein!
  • Ist z_0\in D, so ist f genau dann stetig, wenn sogar \lim\limits_{z\to z_0} f(z) = f(z_0) gilt!
  • Ist speziell D\subseteq \R sowie x_o\in \overline D und betrachtet man die Einschränkungen von f auf D_+ := (x_o|\infty )\cap D oder D_- := (-\infty |x_o)\cap D, so schreibt man auch f(x_o+) := \lim\limits_{x\to x_o+} f(x) := \lim\limits_{x\to x_o} f_{|D_+}(x)\ (rechtsseitige Grenzwertbildung) bzw. f(x_o-) := \lim\limits_{x\to x_o-} f(x) := \lim\limits_{x\to x_o} f_{|D_-}(x)\ (linksseitige Grenzwertbildung)

 

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