Fundamentalsatz der Algebra

Der auf Gauß zurückgehende 'Fundamentalsatz der Algebra' besagt, dass jede komplexe Polynomfunktion q:\C\to\C mit n:=\tn{Grad}(p)\ge 1 mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt! Hieraus lässt sich (via n-facher Polynomdivision) die sogenannte faktorisierte Darstellung eines Polynoms erzeugen:

q(z) = \alpha\cdot (z-c_1)^{k_1}\cdots (z-c_m)^{k_m} \qquad (z\in\C )

Die komplexen Zahlen c_1,\ldots ,c_m\in\C benennen hierin (mit m\in\N ) alle paarweise verschiedenen Nullstellen von q wobei k_1,\ldots ,k_m\in\N die sogenannten Vielfachheiten der jeweiligen Nullstellen genannt werden und \alpha\in\C\setminus\{0\} den Koeffizienten der höchsten Potenz angibt! Es gilt stets n =\sum\limits_{\mu=1}^m k_{\mu }\ge m, d.h. das die Anzahl m der paarweise verschiedenen Nullstellen den Polynomgrad nicht übertreffen kann!

Bemerkung: Im Falle k_{\mu}=1 spricht man bei c_{\mu} auch von einer 'einfachen' Nullstelle, während man bei k_{\mu}=2 von einer 'doppelten' Nullstelle bzw. allgemein auch von einer 'k_{\mu}-fachen' Nullstelle des Polynoms q spricht!

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