Polynomdivision

Es sei \mathbb{K} ein Skalarbereich sowie p,q:\mathbb{K}\to \mathbb{K} zwei Polynomfunktionen, wobei q nicht-konstant sei, d.h. \tn{Grad}(q)\ge 1 gelten soll. Dann gibt es stets zwei eindeutig bestimmte Polynome r,s:\mathbb{K}\to \mathbb{K} mit \tn{Grad}(r)<\tn{Grad}(q) so, dass

p(z) = s(z)\cdot q(z) + r(z)\qquad (z\in \mathbb{K})

gilt! Hierbei bezeichnet r das Restpolynom der Division von p durch q.

Bemerkung:

  • In der Kodierungstheorie werden zwei Polynome als "äquivalent modulo q" bezeichnet, wenn beide bei Division durch q das gleiche Restpolynom besitzen!
  • Die praktische Durchführung einer Polynomdivision wird im Rahmen vieler Anwendungen (wie etwa der Partialbruchzerlegung) nötig und kann dabei in Analogie zum bekannten Algorithmus der 'schriftlichen Division' von ganzen Zahlen durchgeführt werden. Zur effizienten numerischen Berechnung wird oft das sogenannte 'Horner Schema' eingesetzt, welches zusätzliche Funktionsauswertungen gestattet.

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