Funktionen mit stückweisen Eigenschaften

Es sei \emptyset \ne {\cal G} \subseteq \{g:D\to\C | D\subseteq \R \tn{ offen } \} eine Menge von Funktionen mit einer vorgegebenen Eigenschaft und \emptyset\ne I\subseteq\R ein Intervall mit linkem Randpunkt a und rechtem Randpunkt b. Man sagt dann, dass eine Funktion f:I\to\C stückweise aus {\cal G} ist genau dann, wenn es eine Zerlegung a=t_0 < t_1 < \cdots < t_m=b in m\in\N Teilintervalle I_k := (t_{k-1} | t_k) gibt, so dass für jedes k\in\{1,\ldots ,m\} eine Funktion g_k\in {\cal G} existiert deren offener Definitonsbereich den Abschluss von I_k umfasst (d.h. \overline I_k\subseteq \tn{dom} (g_k) gilt) und f(t) = g_k(t) für alle t\in I_k gilt. An den Teilintervallgrenzen gibt es bewusst keine Forderungen an f!

Bemerkungen:

  • Ist {\cal G} etwa die Menge aller stetigen komplex-wertigen Funktionen mit in \R offenen Definitionsbereichen, so spricht man bei f von einer stückweise stetigen Funktion! D.h. es darf endlich viele Unstetigkeitsstellen geben, in denen jedoch noch links- bzw. rechtseitige Grenzübergange exitieren.
  • Ist {\cal G} die Menge aller n-mal stetig-(reell)-differenzierbaren komplex-wertigen Funktionen (mit in \R offenen Definitionsbereichen und n\in\N ), so spricht man von einer stückweise n-mal stetig-(reell)-differenzierbaren Funktion! Somit ist f auf allen offenen Teilintervallen n-mal stetig-(reell)-differenzierbar und es existieren für alle Ableitungen die links- bzw. rechtsseiten Grenzübergänge zu den Teilintervallgrenzen.
  • Warnung: Aus der Rechteckschwingung f(t) := \tn{sign}(\sin(t))\ (t\in (-\infty |\infty ) ) entsteht jedoch nur nach Einschränkung auf ein beliebiges beschränktes Intervall I eine stückweise stetige Funktion f_{|_I}. Die nicht eingeschränkte Gesamtfunktion f ist hingegen nicht stückweise stetig, da sie 'unendlich' viele Sprungstellen besitzt!

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