Sprungstelle

Man sagt, das eine Funktion f:D\to\C in einem Punkt t\in D\subseteq \R eine (nicht hebbare) Sprungstelle besitzt genau dann, wenn f in t sowohl einen links- als auch rechtsseitigen Grenzwert besitzt und diese nicht übereinstimmen, d.h. also eine absolute natürliche Sprunghöhe

|f(t+) - f(t-)| > 0

vorliegt! Gilt hingegen f(t+) = f(t-) \ne f(t) so liegt lediglich eine (stetig-hebbare) Sprungstelle vor, da durch eine geeignete Abänderung des Funktionswertes f(t) eine in t stetige Funktion erhalten werden kann.

Bemerkungen:

  • Somit liegt in jeder Sprungstelle also auch stets eine Unstetigkeitsstelle vor!
  • Verläuft der tatsächliche Funktionswert f(t) durch den arithmetischen Mittelwert von f(t+) und f(t-) so spricht man von der sogenannten Mittelwerteigenschaft der Funktion in dem betrachteten Punkt.
  • Während also stetige Funktionen keine Sprungstellen besitzen können, so gibt es durchaus Funktionen ohne Sprungstellen die dennoch unstetig sind! Als Beispiel hierzu mag f(t) := \sin \left(\frac 1t\right)\quad (t\in\R\setminus\{0\}) und f(0) := 0 dienen. (Vgl. hierzu etwa auch den Satz von Darboux)

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