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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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A

abgeschlossene Hülle

Zu einer Menge M\subseteq\R^n definiert man deren abgeschlossene Hülle durch die Menge aller Grenzwerte, welche durch konvergente Folgen aus M möglich sind:

\overline{M} := \{\vec v \in\R^n |\ \left(\vec x_k\right)_{k\in\N } \in M^{\N } \wedge \vec v = \lim\limits_{k\to \infty } \vec x_k \}

Somit gilt stets M \subseteq \overline{M} . Ist sogar M = \overline{M} , so nennt man M eine 'abgeschlossene Menge'. Da jeder Vektor aus \R^2 umkehrbar-eindeutig durch eine komplexe Zahl ausgetauscht werden kann, übertragen sich die Begriffe insbesondere auch auf M\subseteq\C .

Entry link: abgeschlossene Hülle

Ableitung

Eine in einem inneren Punkt z_0\in D_0 \subseteq \mathbb{K}\in\{\R,\C\} (bzgl. des Grundraumes \mathbb{K})   \mathbb{K}-differenzierbare Funktion f:D_0 \to \C besitzt im Punkte z_0 die sogenannte Ableitung f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) \in \mathbb{K}. Gemäß der Definition der Differenzierbarkeit ergibt sich die Ableitung auch direkt durch die Grenzwertbildung:

f^{\prime }(z_0) = \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac {f(z_0+h) - f(z_0)}{h}\right)

 

Betrachtet man die Menge D \subseteq D_0 aller Punkte in denen f\ \mathbb{K}-differenzierbar ist, so bildet D eine 'offene' Teilmenge von D_0 auf der dann die Ableitungsfunktion f^{\prime }:D \to \C definiert ist! Man nennt die Funktion f auch eine Stammfunktion zu f^{\prime }. (vgl. auch 'Ableitungstabelle')

Bemerkung:

Entry link: Ableitung

Argumentfunktion

Da durch Einschränkung der Versorfunktion (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') auf den standardisierten Winkelbereich D_0 := (-\pi | \pi] eine bijektive Abbildung \tn{cis}_{|D_0}: D_0 \to K(0,1) auf die Einheitskreislinie bereitgestellt wird, kann mittels der Umkehrfunktion durch 

\tn{arg}(z) := \left(\tn{cis}_{|D_0}\right)^{-1}\left( \frac z{|z|}\right)\quad (z\in\C\setminus\{0\})

jedem Punkt z\in\C\setminus\{0\} mit r := |z| >0 und \varphi := \tn{arg}(z) \in (-\pi | \pi] eine eindeutige bzw. standardisierte Polardarstellung

z = r\cdot\angle \varphi = r\cdot\tn{cis}(\varphi ) = |z|\cdot e^{j\cdot \tn{arg}(z)}

zugewiesen werden! Die Funktion \tn{arg}:\C\setminus\{0\}\to (-\pi |\pi ] wird dann als die (Standard-)Argumentfunktion bezeichnet.

Bemerkung:

Entry link: Argumentfunktion

B

Bijektivität

Eine Funktion f:A\to B heißt bijektiv (oder auch eine Bijektion), genau dann wenn sie injektiv und surjektiv ist! Die Umkehrrelation zu f bildet genau dann wieder eine Funktion f^{-1}:B \to A (Umkehrfunktion), wenn f bijektiv ist! Die Bijektivität garantiert, dass es zu jeder Vorgabe b\in B stets genau eine Lösung a\in A der Gleichung f(a)=b gibt.

Bemerkung: Es gelten im Falle der Bijektivität die Beziehungen f(f^{-1}(b))=b \tn{ f\"ur alle }b\in B als auch f^{-1}(f(a))=a \tn{ f\"ur alle }a\in A.

Entry link: Bijektivität

D

differenzierbar

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und z_0\in D\subseteq \mathbb{K} ein innerer Punkt von D (bzgl. des Grundraumes \mathbb{K}), dann heißt die Funktion f:D\to\C kurz \mathbb{K}-differenzierbar (oder auch reell-differenzierbar wenn \mathbb{K}=\R , bzw. komplex-differenzierbar wenn \mathbb{K}=\C ist) im Punkt z_0, falls es eine \mathbb{K}-lineare Funktion df_{z_0}:\mathbb{K} \to\C gibt, welche die im (allg. nicht-lineare) Änderung \Delta f_{z_0}(h) := f(z_0+h) - f(z_0) zur Schrittweite h\in \mathbb{K}\setminus\{0\}, z_0+h\in D wie folgt annähert:

\lim\limits_{h\to 0} \left(\frac {|\Delta f_{z_0}(h) - df_{z_0}(h)|}{|h|}\right) = 0

 

Die \mathbb{K}-lineare Funktion df_{z_0} heißt das Differential von f im Punkt z_0, während die spezielle Zahl f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) die Ableitung von f im Punkt z_0 genannt wird. Da das Differential eine '\mathbb{K}-lineare' Funktion ist ergibt sich dessen konkrete Gestalt zu:

df_{z_0}(h) = df_{z_0}(1)\cdot h = f^{\prime }(z_0) \cdot h \qquad (h\in \mathbb{K})

Entry link: differenzierbar

E

Elementare reelle Funktionen

Eine Zusammenstellung aller elementaren reellen Funktionsverläufe (1-4: Schulmathematik, 5: Ergänzungen) steht Ihnen unter 'Reelle Funktionsverläufe im Überblick' im Kursbereich 'Begleitblätter' zur Verfügung!

Entry link: Elementare reelle Funktionen

Euklidisches Skalarprodukt

Als Grundlage der euklidischen Geometrie für den reellen Vektorraum {\cal R}^n der reellen Zahlenspalten mit n Komponenten wird das spezielle reelle Skalarprodukt g_e: {\cal R}^n\times {\cal R}^n \to \R \ (euklidisches Skalarprodukt) definiert durch

\vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_e := g_e(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot w_k \qquad (v,w\in {\cal R}^n)

(engl.: dotproduct) verwendet.

Damit wird die euklidische Längen- und Winkelmessung festgelegt durch:

  • |\vec v| := ||\vec v||_{g_e} := \sqrt{\vec v\bullet \vec v} \tn{ f\"ur } v\in {\cal R}^n\quad (euklidische Norm bzw. Betrag von \vec v)
  • \angle (\vec v,\vec w) := \arccos \left( \frac {\vec v\bullet \vec w}{|\vec v|\cdot |\vec w|}\right) \tn{ f\"ur } v,w\in {\cal R}^n\setminus\{\vec 0\}\quad (euklidischer Winkel zwischen \vec v und \vec w)

Bemerkungen:

  • Die Idee des Skalarproduktes kann in vielfältiger Weise als auf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden (vgl. allgemeines reelles Skalarprodukt oder auch komplexes Skalarprodukt).
  • Durch ein Skalarprodukt soll dabei stets bewertet werden wie stark ein Vektor einem anderen 'ähnelt'. Somit bewertet die 'Orthogonalität', d.h. g(v,w)=0, die maximale Unähnlichkeit von v und w.
Entry link: Euklidisches Skalarprodukt

F

Folgenbegriff

Es sei M eine beliebige nicht-leere Menge. Dann nennt man jede Funktion f:\N \to M auch eine Folge von Elementen aus M und verwendet für die Funktionswerte in der Regel die Index basierte Notation f_n := f(n) um den Aufzählungscharakter der Funktion zu verdeutlichen. Anstelle des Funktionssymbols f schreibt man dann alternativ auch (f_n)_{n\in\N }. Man spricht speziell von Zahlenfolgen, falls M einen Zahlkörper beschreibt. Besteht M speziell wieder aus Funktionen, so spricht man von Funktionenfolgen.

Entry link: Folgenbegriff

Fundamentalsatz der Algebra

Der auf Gauß zurückgehende 'Fundamentalsatz der Algebra' besagt, dass jede komplexe Polynomfunktion q:\C\to\C mit n:=\tn{Grad}(p)\ge 1 mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt! Hieraus lässt sich (via n-facher Polynomdivision) die sogenannte faktorisierte Darstellung eines Polynoms erzeugen:

q(z) = \alpha\cdot (z-c_1)^{k_1}\cdots (z-c_m)^{k_m} \qquad (z\in\C )

Die komplexen Zahlen c_1,\ldots ,c_m\in\C benennen hierin (mit m\in\N ) alle paarweise verschiedenen Nullstellen von q wobei k_1,\ldots ,k_m\in\N die sogenannten Vielfachheiten der jeweiligen Nullstellen genannt werden und \alpha\in\C\setminus\{0\} den Koeffizienten der höchsten Potenz angibt! Es gilt stets n =\sum\limits_{\mu=1}^m k_{\mu }\ge m, d.h. das die Anzahl m der paarweise verschiedenen Nullstellen den Polynomgrad nicht übertreffen kann!

Bemerkung: Im Falle k_{\mu}=1 spricht man bei c_{\mu} auch von einer 'einfachen' Nullstelle, während man bei k_{\mu}=2 von einer 'doppelten' Nullstelle bzw. allgemein auch von einer 'k_{\mu}-fachen' Nullstelle des Polynoms q spricht!

Entry link: Fundamentalsatz der Algebra

Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Es sei f:I\to \C stetig auf einem offenen Intervall I\subseteq\R . Dann gilt für jede Funktion F: I \to\C :

\begin{array}{c}\left(F\tn{ ist reell-differenzierbar mit } F^{\prime } = f \right) \\ \Leftrightarrow \\ \left(F(b) - F(a) = \int\limits_{a}^b f(t)\ dt \tn{ f\"ur alle }a,b\in I\right)\end{array}

 

Bemerkung:

 

Entry link: Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung


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