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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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A

abgeschlossene Hülle

Zu einer Menge M\subseteq\R^n definiert man deren abgeschlossene Hülle durch die Menge aller Grenzwerte, welche durch konvergente Folgen aus M möglich sind:

\overline{M} := \{\vec v \in\R^n |\ \left(\vec x_k\right)_{k\in\N } \in M^{\N } \wedge \vec v = \lim\limits_{k\to \infty } \vec x_k \}

Somit gilt stets M \subseteq \overline{M} . Ist sogar M = \overline{M} , so nennt man M eine 'abgeschlossene Menge'. Da jeder Vektor aus \R^2 umkehrbar-eindeutig durch eine komplexe Zahl ausgetauscht werden kann, übertragen sich die Begriffe insbesondere auch auf M\subseteq\C .

Entry link: abgeschlossene Hülle

Ableitung

Eine in einem inneren Punkt z_0\in D_0 \subseteq \mathbb{K}\in\{\R,\C\} (bzgl. des Grundraumes \mathbb{K})   \mathbb{K}-differenzierbare Funktion f:D_0 \to \C besitzt im Punkte z_0 die sogenannte Ableitung f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) \in \mathbb{K}. Gemäß der Definition der Differenzierbarkeit ergibt sich die Ableitung auch direkt durch die Grenzwertbildung:

f^{\prime }(z_0) = \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac {f(z_0+h) - f(z_0)}{h}\right)

 

Betrachtet man die Menge D \subseteq D_0 aller Punkte in denen f\ \mathbb{K}-differenzierbar ist, so bildet D eine 'offene' Teilmenge von D_0 auf der dann die Ableitungsfunktion f^{\prime }:D \to \C definiert ist! Man nennt die Funktion f auch eine Stammfunktion zu f^{\prime }. (vgl. auch 'Ableitungstabelle')

Bemerkung:

Entry link: Ableitung

Argumentfunktion

Da durch Einschränkung der Versorfunktion (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') auf den standardisierten Winkelbereich D_0 := (-\pi | \pi] eine bijektive Abbildung \tn{cis}_{|D_0}: D_0 \to K(0,1) auf die Einheitskreislinie bereitgestellt wird, kann mittels der Umkehrfunktion durch 

\tn{arg}(z) := \left(\tn{cis}_{|D_0}\right)^{-1}\left( \frac z{|z|}\right)\quad (z\in\C\setminus\{0\})

jedem Punkt z\in\C\setminus\{0\} mit r := |z| >0 und \varphi := \tn{arg}(z) \in (-\pi | \pi] eine eindeutige bzw. standardisierte Polardarstellung

z = r\cdot\angle \varphi = r\cdot\tn{cis}(\varphi ) = |z|\cdot e^{j\cdot \tn{arg}(z)}

zugewiesen werden! Die Funktion \tn{arg}:\C\setminus\{0\}\to (-\pi |\pi ] wird dann als die (Standard-)Argumentfunktion bezeichnet.

Bemerkung:

Entry link: Argumentfunktion

B

Bijektivität

Eine Funktion f:A\to B heißt bijektiv (oder auch eine Bijektion), genau dann wenn sie injektiv und surjektiv ist! Die Umkehrrelation zu f bildet genau dann wieder eine Funktion f^{-1}:B \to A (Umkehrfunktion), wenn f bijektiv ist! Die Bijektivität garantiert, dass es zu jeder Vorgabe b\in B stets genau eine Lösung a\in A der Gleichung f(a)=b gibt.

Bemerkung: Es gelten im Falle der Bijektivität die Beziehungen f(f^{-1}(b))=b \tn{ f\"ur alle }b\in B als auch f^{-1}(f(a))=a \tn{ f\"ur alle }a\in A.

Entry link: Bijektivität

D

differenzierbar

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und z_0\in D\subseteq \mathbb{K} ein innerer Punkt von D (bzgl. des Grundraumes \mathbb{K}), dann heißt die Funktion f:D\to\C kurz \mathbb{K}-differenzierbar (oder auch reell-differenzierbar wenn \mathbb{K}=\R , bzw. komplex-differenzierbar wenn \mathbb{K}=\C ist) im Punkt z_0, falls es eine \mathbb{K}-lineare Funktion df_{z_0}:\mathbb{K} \to\C gibt, welche die im (allg. nicht-lineare) Änderung \Delta f_{z_0}(h) := f(z_0+h) - f(z_0) zur Schrittweite h\in \mathbb{K}\setminus\{0\}, z_0+h\in D wie folgt annähert:

\lim\limits_{h\to 0} \left(\frac {|\Delta f_{z_0}(h) - df_{z_0}(h)|}{|h|}\right) = 0

 

Die \mathbb{K}-lineare Funktion df_{z_0} heißt das Differential von f im Punkt z_0, während die spezielle Zahl f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) die Ableitung von f im Punkt z_0 genannt wird. Da das Differential eine '\mathbb{K}-lineare' Funktion ist ergibt sich dessen konkrete Gestalt zu:

df_{z_0}(h) = df_{z_0}(1)\cdot h = f^{\prime }(z_0) \cdot h \qquad (h\in \mathbb{K})

Entry link: differenzierbar

E

Elementare reelle Funktionen

Eine Zusammenstellung aller elementaren reellen Funktionsverläufe (1-4: Schulmathematik, 5: Ergänzungen) steht Ihnen unter 'Reelle Funktionsverläufe im Überblick' im Kursbereich 'Begleitblätter' zur Verfügung!

Entry link: Elementare reelle Funktionen

Euklidisches Skalarprodukt

Als Grundlage der euklidischen Geometrie für den reellen Vektorraum {\cal R}^n der reellen Zahlenspalten mit n Komponenten wird das spezielle reelle Skalarprodukt g_e: {\cal R}^n\times {\cal R}^n \to \R \ (euklidisches Skalarprodukt) definiert durch

\vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_e := g_e(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot w_k \qquad (v,w\in {\cal R}^n)

(engl.: dotproduct) verwendet.

Damit wird die euklidische Längen- und Winkelmessung festgelegt durch:

  • |\vec v| := ||\vec v||_{g_e} := \sqrt{\vec v\bullet \vec v} \tn{ f\"ur } v\in {\cal R}^n\quad (euklidische Norm bzw. Betrag von \vec v)
  • \angle (\vec v,\vec w) := \arccos \left( \frac {\vec v\bullet \vec w}{|\vec v|\cdot |\vec w|}\right) \tn{ f\"ur } v,w\in {\cal R}^n\setminus\{\vec 0\}\quad (euklidischer Winkel zwischen \vec v und \vec w)

Bemerkungen:

  • Die Idee des Skalarproduktes kann in vielfältiger Weise als auf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden (vgl. allgemeines reelles Skalarprodukt oder auch komplexes Skalarprodukt).
  • Durch ein Skalarprodukt soll dabei stets bewertet werden wie stark ein Vektor einem anderen 'ähnelt'. Somit bewertet die 'Orthogonalität', d.h. g(v,w)=0, die maximale Unähnlichkeit von v und w.
Entry link: Euklidisches Skalarprodukt

F

Folgenbegriff

Es sei M eine beliebige nicht-leere Menge. Dann nennt man jede Funktion f:\N \to M auch eine Folge von Elementen aus M und verwendet für die Funktionswerte in der Regel die Index basierte Notation f_n := f(n) um den Aufzählungscharakter der Funktion zu verdeutlichen. Anstelle des Funktionssymbols f schreibt man dann alternativ auch (f_n)_{n\in\N }. Man spricht speziell von Zahlenfolgen, falls M einen Zahlkörper beschreibt. Besteht M speziell wieder aus Funktionen, so spricht man von Funktionenfolgen.

Entry link: Folgenbegriff

Fundamentalsatz der Algebra

Der auf Gauß zurückgehende 'Fundamentalsatz der Algebra' besagt, dass jede komplexe Polynomfunktion q:\C\to\C mit n:=\tn{Grad}(p)\ge 1 mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt! Hieraus lässt sich (via n-facher Polynomdivision) die sogenannte faktorisierte Darstellung eines Polynoms erzeugen:

q(z) = \alpha\cdot (z-c_1)^{k_1}\cdots (z-c_m)^{k_m} \qquad (z\in\C )

Die komplexen Zahlen c_1,\ldots ,c_m\in\C benennen hierin (mit m\in\N ) alle paarweise verschiedenen Nullstellen von q wobei k_1,\ldots ,k_m\in\N die sogenannten Vielfachheiten der jeweiligen Nullstellen genannt werden und \alpha\in\C\setminus\{0\} den Koeffizienten der höchsten Potenz angibt! Es gilt stets n =\sum\limits_{\mu=1}^m k_{\mu }\ge m, d.h. das die Anzahl m der paarweise verschiedenen Nullstellen den Polynomgrad nicht übertreffen kann!

Bemerkung: Im Falle k_{\mu}=1 spricht man bei c_{\mu} auch von einer 'einfachen' Nullstelle, während man bei k_{\mu}=2 von einer 'doppelten' Nullstelle bzw. allgemein auch von einer 'k_{\mu}-fachen' Nullstelle des Polynoms q spricht!

Entry link: Fundamentalsatz der Algebra

Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Es sei f:I\to \C stetig auf einem offenen Intervall I\subseteq\R . Dann gilt für jede Funktion F: I \to\C :

\begin{array}{c}\left(F\tn{ ist reell-differenzierbar mit } F^{\prime } = f \right) \\ \Leftrightarrow \\ \left(F(b) - F(a) = \int\limits_{a}^b f(t)\ dt \tn{ f\"ur alle }a,b\in I\right)\end{array}

 

Bemerkung:

 

Entry link: Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Funktionen mit Mittelwerteigenschaft

Man sagt, das eine Funktion f:D\to\C in einem Punkt t\in D\subseteq \R die sogenannte Mittelwerteigenschaft besitzt genau dann, wenn f in t sowohl einen links- als auch rechtsseitigen Grenzwert besitzt deren arithmetischer Mittelwert den Funktionswert beschreibt:

f(t) = \dfrac {f(t+) + f(t-)}2

Bemerkungen:

  • Ist f in einem Punkt t\in D stetig, so besitzt f dort die Mittelwerteigenschaft.
  • Ist f in einem Punkt t\in D unstetig, so besagt die Mittelwerteigenschaft, das der Funktionswert "die halbe (natürliche) Sprunghöhe durchläuft".
  • Die Sprungfunktion \sigma besitzt in allen Punkten aus \R die Mittelwerteigenschaft.
  • Ist f im Punkt t\in D stetig, so besitzt selbst \sigma\cdot f dort noch die Mittelwerteigenschaft.
  • Betrachtet man für t\in\R die Funktionsvorschrift f(t) :=\sin (\frac {\pi }t) für t\ne 0 und f(0) := 0, so besitzt f im Punkt t=0 eine Unstetigkeitsstelle die keine Sprungstelle ist, d.h. für die keine links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte existieren! Daher besitzt f dort auch nicht die Mittelwerteigenschaft, obwohl f eine ungerade Funktion ist.
Entry link: Funktionen mit Mittelwerteigenschaft

Funktionen mit stückweisen Eigenschaften

Es sei \emptyset \ne {\cal G} \subseteq \{g:D\to\C | D\subseteq \R \tn{ offen } \} eine Menge von Funktionen mit einer vorgegebenen Eigenschaft und \emptyset\ne I\subseteq\R ein Intervall mit linkem Randpunkt a und rechtem Randpunkt b. Man sagt dann, dass eine Funktion f:I\to\C stückweise aus {\cal G} ist genau dann, wenn es eine Zerlegung a=t_0 < t_1 < \cdots < t_m=b in m\in\N Teilintervalle I_k := (t_{k-1} | t_k) gibt, so dass für jedes k\in\{1,\ldots ,m\} eine Funktion g_k\in {\cal G} existiert deren offener Definitonsbereich den Abschluss von I_k umfasst (d.h. \overline I_k\subseteq \tn{dom} (g_k) gilt) und f(t) = g_k(t) für alle t\in I_k gilt. An den Teilintervallgrenzen gibt es bewusst keine Forderungen an f!

Bemerkungen:

  • Ist {\cal G} etwa die Menge aller stetigen komplex-wertigen Funktionen mit in \R offenen Definitionsbereichen, so spricht man bei f von einer stückweise stetigen Funktion! D.h. es darf endlich viele Unstetigkeitsstellen geben, in denen jedoch noch links- bzw. rechtseitige Grenzübergange exitieren.
  • Ist {\cal G} die Menge aller n-mal stetig-(reell)-differenzierbaren komplex-wertigen Funktionen (mit in \R offenen Definitionsbereichen und n\in\N ), so spricht man von einer stückweise n-mal stetig-(reell)-differenzierbaren Funktion! Somit ist f auf allen offenen Teilintervallen n-mal stetig-(reell)-differenzierbar und es existieren für alle Ableitungen die links- bzw. rechtsseiten Grenzübergänge zu den Teilintervallgrenzen.
  • Warnung: Aus der Rechteckschwingung f(t) := \tn{sign}(\sin(t))\ (t\in (-\infty |\infty ) ) entsteht jedoch nur nach Einschränkung auf ein beliebiges beschränktes Intervall I eine stückweise stetige Funktion f_{|_I}. Die nicht eingeschränkte Gesamtfunktion f ist hingegen nicht stückweise stetig, da sie 'unendlich' viele Sprungstellen besitzt!
Entry link: Funktionen mit stückweisen Eigenschaften

G

Gram'sche Matrix

Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Skalarbereich \mathbb{K}\in\{\R,\C\} ,d.h. ein Vektorraum,  welcher von linear unabhängigen Vektoren b_1,\ldots b_n\in V aufgespannt wird (V = \tn{span}(b_1,\ldots b_n)). Dann kann jede in beiden Inputvariablen mindestens reell-lineare Funktion  g:V\times V \to \mathbb{K} welche zudem g(\alpha\cdot v_1,\beta \cdot v_2) = \overline \alpha \cdot \beta \cdot g(v_1,v_2) für alle v_1,v_2\in V und \alpha,\beta\in \mathbb{K} erfüllt, bzgl. der vorgegebenen Basis {\cal B} :=(b_1,\ldots b_n) eindeutig durch eine Matrix G({\cal B})=\left(g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} (Gram'sche Matrix) Zahlen via

g(v,w) = \sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^n \overline \alpha_k\cdot g_{k,l}({\cal B})\cdot \beta_l   mit   v=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot b_k   und   w=\sum\limits_{l=1}^n\beta_l\cdot b_l

(d.h. hierin benennen \alpha_k, \beta_l \in\mathbb{K} die 'Koordinaten' der Vektoren bzgl. der Basis {\cal B}) beschrieben werden. Die Matrixelemente sind zudem durch die Beziehung g_{k,l}({\cal B}) = g(b_k,b_l) charakterisiert.

Bemerkungen:

  • Verwendet man im Falle V={\cal R}^n die Standardbasis (\vec e_1,\ldots ,\vec e_n), so besitzt etwa das euklidische Skalarprodukt g_e  die Einheitsmatrix als Gram'sche Matrix und die Komponenten von Spaltenvektoren bilden gleichzeitig die Koordinaten bzgl. der Standardbasis.
  • Im {\cal R}^m mit n\le m ergibt sich etwas allgemeiner für bel. linear-unabhängige Vektoren \vec b_1,\ldots \vec b_n\in {\cal R}^m  und V := \tn{span}(\vec b_1,\ldots \vec b_n)\subseteq {\cal R}^m die Gram'sche Matrix zu {\cal B} := (\vec b_1,\ldots \vec b_n) bzgl. des euklidischen Skalarprodukts g_e konkret zu G({\cal B}) = {\cal B}^{tr}\cdot {\cal B} und bildet eine reelle positiv-definite Matrix mit (in diesem Falle notwendigerweise) positiver Determinante.
  • Ist \mathbb{K}=\R und die Gram'sche Matrix eine symmetrische und positiv-definite Matrix, so beschreibt die bilineare Funktion g stets ein reelles Skalarprodukt (auch Metriktensor oder metrischer Tensor genannt). Ist die Gram'sche Matrix lediglich symmetrisch und umkehrbar (bzw. regulär), so heißt g auch ein Pseudo-Metriktensor oder auch pseudometrischer Tensor. Diese werden im Rahmen der Relativitätstheorie (n=4) benötigt.
Entry link: Gram'sche Matrix

Grenzwertbildung von Funktionswerten

Es sei D\subseteq\C sowie f:D\to\C eine Funktion, sowie z_0\in \overline D\ (Abschluss der Menge D). Falls es eine Zahl g\in\C so gibt, dass für alle konvergenten Folgen (a_n)_{n\in\N } aus D mit Grenzwert z_0 auch die Folge der Funktionswerte stets gegen den gleichen Wert g = \lim\limits_{n\to\infty } f(a_n) konvergieren, dann schreibt man hierfür abkürzend: \lim\limits_{z\to z_0} f(z) = g.

Bemerkung:

  • Wie etwa die Funktion f:\R\setminus\{0\} \to\R definiert durch f(x) := \cos\left(\frac {\pi }x\right)\ (x\in\R\setminus\{0\})\ für z_0 := 0 zeigt, braucht eine solche Grenzwertbildung im allgemeinen nicht immer möglich zu sein!
  • Ist z_0\in D, so ist f genau dann stetig, wenn sogar \lim\limits_{z\to z_0} f(z) = f(z_0) gilt!
  • Ist speziell D\subseteq \R sowie x_o\in \overline D und betrachtet man die Einschränkungen von f auf D_+ := (x_o|\infty )\cap D oder D_- := (-\infty |x_o)\cap D, so schreibt man auch f(x_o+) := \lim\limits_{x\to x_o+} f(x) := \lim\limits_{x\to x_o} f_{|D_+}(x)\ (rechtsseitige Grenzwertbildung) bzw. f(x_o-) := \lim\limits_{x\to x_o-} f(x) := \lim\limits_{x\to x_o} f_{|D_-}(x)\ (linksseitige Grenzwertbildung)

 

Entry link: Grenzwertbildung von Funktionswerten

H

Hauptsatz der Lebesgue-Integralrechnung

Es sei F: I\to\C reell-differenzierbar auf einem offenen Intervall I\subseteq\R a,b\in I mit a\le b sowie F^{\prime }: I\to\C Lebesgue-integrierbar über [a|b]. Dann gilt:

F(b) - F(a) = \int\limits_{[a|b]} F^{\prime }(t)\ d\lambda (t)

Im Spezialfall, dass F^{\prime } lediglich Riemann-integrierbar auf [a|b] ist, folgt hieraus insbesondere der Hauptsatz der Riemann-Integralrechnung.

Entry link: Hauptsatz der Lebesgue-Integralrechnung

Hauptsatz der Riemann-Integralrechnung

Es sei F: I\to\C reell-differenzierbar auf einem offenen Intervall I\subseteq\R , a,b\in I sowie F^{\prime }: I\to\C Riemann-integrierbar

von a nach b. Dann gilt:

F(b) - F(a) = \int\limits_a^b F^{\prime }(t)\ dt

Entry link: Hauptsatz der Riemann-Integralrechnung

I

Injektivität

Eine Funktion f:A\to B heißt injektiv (oder auch eine Injektion), genau dann wenn es zu jeder Vorgabe b\in B höchstens eine (d.h. entweder genau eine oder garkeine) Lösung a\in A der Gleichung f(a)=b gibt.

 

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innerer Punkt

Ein Punkt \vec x\in M\subseteq \R^n heißt innerer Punkt von M (bzgl. des n-dimensionalen Grundraumes \R^n) genau dann, wenn es eine ganze Umgebung U := \{\vec v\in\R^n | |\vec v - \vec x| < r \} mit Radius r\in (0|\infty ) gibt, welche vollständig in M enthalten ist, also U\subseteq M gilt. Im Falle n=2 übertragen sich die Begriffe sinngemäß auf komplexe Zahlen anstelle der zweidimensionalen Vektoren sowie M\subseteq \C - im Falle n=1 verzichtet man natürlicherweise auf die Vektorschreibweise.

Man fasst alle inneren Punkte einer Menge M zum sogenannten 'offenen Kern von M' zusammen:

\underline{M} := \{\vec v\in M | \vec v \text{ ist innerer Punkt von } M\}

 

Entry link: innerer Punkt

K

Kompakte Punktmengen

Eine Menge M\subseteq\C heißt kompakt (oder auch ein Kompaktum) genau dann, wenn Sie abgeschlossen und beschränkt ist, d.h. M=\overline M gilt und es eine Zahl R\in (0|\infty ) gibt, so dass |z|<R \tn{ f\"ur alle } z\in M gilt!

Entry link: Kompakte Punktmengen

Komplexe Logarithmusfunktion

Durch Einschränkung der Exponentialfunktion auf den sogenannten Fundamentalstreifen B :=\{z\in\C | -\pi < \tn{Im}(z) \le \pi \} (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') entsteht eine bijektive Abbildung \tn{exp}_{|B}: B\to\C\setminus\{0\} deren Umkehrfunktion \tn{ln} := \left(\tn{exp}_{|B}\right)^{-1}:\C\setminus\{0\} \to B die komplexe natürliche Logarithmusfunktion genannt wird. Durch Einschränkung auf die reelle Achse ergibt sich analog als Umkehrfunktion der bijektiven Abbildung \tn{exp}_{|\R }: \R\to (0|\infty ) die reelle natürliche Logarithmusfunktion \tn{ln}_{\R } := \left(\tn{exp}_{|\R}\right)^{-1}: (0|\infty ) \to \R als eine der elementaren Funktionen der Schulmathematik. Zwischen beiden Funktionen besteht der explizite Zusammenhang \tn{ln}(w) = \tn{ln}_{\R }(|w|) + j\cdot \tn{arg}(w) für alle w\in\C\setminus\{0\} welche die arithmetische Darstellung des Funktionwertes \tn{ln}(w) angibt. 

Bemerkung:

  • Die komplexe natürliche Logarithmusfunktion ist genau in den Punkten z\in\C\setminus (-\infty | 0] komplex-differenzierbar mit Ableitung \tn{ln}^{\prime }(z) = \frac 1z. Aufgrund der Unstetigkeit der Argumentfunktion für Punkte z\in (-\infty |0) ist auch \tn{ln} dort unstetig!
  • Die komplexe Logarithmusfunktion \tn{log}_a:\C\setminus\{0\} \to B_a zur Basis a\in\C\setminus\{0,1\} ist dann definiert durch \tn{log}_a(w) := \frac {\tn{ln}(w)}{\tn{ln}(a)} für w\in\C\setminus\{0\} und B_a := \{\frac z{\tn{ln}(a)} | z\in B \} und kehrt die Exponentialfunktion zur Basis a auf dem Fundamentalbereich B_a um, d.h. es gilt a^{\tn{log}_a(w)} = w \tn{ f\"ur alle } w\in\C\setminus\{0\}.
Entry link: Komplexe Logarithmusfunktion

Komplexes Skalarprodukt

Es bezeichne V einen Vektorraum mit Skalarbereich \C . Dann heißt jede Funktion g:V\times V \to \C welche in mindestens einer Inputvariablen linear ist, ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt, falls g(v,w)=\overline{g(w,v)} für alle v,w\in V  (hermitesche Symmetrie) und g(v,v) \in [0|\infty ) für alle v\in V (g ist positiv-semi-definit) gilt! Gilt zusätzlich auch noch g(v,v)\ne 0 für v\in V\setminus\{\cal O\} (Definitheit), so nennt man g ein komplexes Skalarprodukt. Man sagt dann, dass V zusammen mit g einen komplexen Prähilbertraum bildet. Alternativ schreibt man auch je nach Anwendung <v,w>_g := g(v,w) =: <v||w> für v,w\in V.

Durch ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt kann für v,w\in V eine Längen- und Winkelmessung durch

  • ||v||_g := \sqrt{g(v,v)} \qquad (Norm bzw. Betrag oder auch Länge des Vektor v bzgl. g)
  • \angle_g (v,w) := \arccos \left( \frac {\tn{Re}(g(v,w))}{||v||_g\cdot ||w||_g}\right) \tn{ falls } ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g \qquad (Winkel zwischen zwei Vektoren v,w bzgl. g)

eingeführt werden, da aufgrund des positiv-semi-definiten Verhaltens von g stets |\tn{Re}(g(v,w))|\le |g(v,w)| \le ||v||_g\cdot ||w||_g (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung) gilt!

Bemerkungen:

  • Man sagt, dass zwei Vektoren v,w\in V mit g(v,w)=0 bzgl. g orthogonal zueinander sind. Falls ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g gilt, entspricht dies einem Winkel von \frac {\pi }2=90°. Umgekehrt impliziert ein Winkel von \frac {\pi }2=90° zwischen zwei Vektoren jedoch nicht mehr die Orthogonalität bzgl. g, da dann lediglich  \tn{Re}(g(v,w))=0 zu gelten braucht!
  • In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann ein reelles Pseudo-Skalarprodukt bzgl. einer vorgegebenen Basis auch durch ihre Gram'sche Matrix charakterisiert werden.
  • Im Falle V:={\C}^n wird als Standardskalarprodukt das Skalarprodukt \vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_{\C} := g_{\C}(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot \overline w_k (engl.: dotproduct) eingesetzt. Diese Produkt erweitert das bekannte euklidische Skalarprodukt des reellen Vektorraumes {\cal R}^n.
  • Das komplexe Skalarprodukt ist durch formale Erweiterung des reellen Skalarproduktes entststanden.
  • In der Quantenphysik werden speziell die Notationen <v| und |w> zur Bildung eines Skalarproduktes <v||w> (BRA KET) verwendet!
  • Fasst man die Bedingung der Definitheit und das positiv-semi-definite Verhalten von g zusammen, so spricht man von der positiven Definitheit von g, d.h. es gilt  zusammengefasst g(v,v) \in (0|\infty ) für alle v\in V\setminus\{\cal O\}. Fordert man die Linearität konkret in der 'zweiten' Komponente so spricht man speziell von einer positiv-definiten Sesquilinearform.
Entry link: Komplexes Skalarprodukt

Konvergenz von Zahlen- und Vektorfolgen

Eine Folge (a_n)_{n\in\N } komplexer Zahlen heißt konvergent mit Grenzwert g\in\C genau dann, wenn es zu jeder Vorgabe \varepsilon\in (0|\infty ) ein hierzu geeignetes n_0\in\N so gibt, dass für alle n\in\N mit n\ge n_0 die Folgenglieder a_n in der Kreisscheibe um g mit Radius \varepsilon liegen, d.h. also |a_n-g| < \varepsilon gilt.

Als Kurznotation dieser Aussage verwendet man: '\lim\limits_{n\to\infty } (a_n) = g' oder auch 'a_n\to g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty '

Der Begriff der Konvergenz erweitert sich in natürlicher Weise auf Folgen (\vec a_n)_{n\in\N } komplexer Zahlenspalten einer bel. endlichen Dimension, indem man die Existenz eines Grenzvektors \vec g fordert für den die Konvergenz der Zahlenfolge \lim\limits_{n\to\infty } |\vec a_n - \vec g| = 0 gezeigt werden kann. 

Als Kurznotation verwendet man auch hier : '\lim\limits_{n\to\infty }(\vec a_n) = \vec g' bzw. '\vec a_n\to \vec g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty '

Eine Zahlen- oder Vektorfolge die nicht konvergent ist heißt divergent.

Bemerkung:

  • Jede konvergente Folge ist beschränkt, jedoch nicht jede beschränkte Folge konvergent (wie etwa a_n := (-1)^n\ \ (n\in\N ) zeigt).
  • Gilt a_n\in (0|\infty ) für alle n\in\N als auch \lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0, so ist (a_n)_{n\in\N } nach oben unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen \infty ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' \lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = \infty .
  • Gilt analog a_n\in (-\infty |0) für alle n\in\N als auch \lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0, so ist (a_n)_{n\in\N } nach unten unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen -\infty ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' \lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = -\infty .
Entry link: Konvergenz von Zahlen- und Vektorfolgen

L

Laplace Transformation

Die Laplace-Transformation \cal L ist eine lineare Funktion, welche es gestattet, jedes sogenannte  'zulässige' Signal u:\R \to \C in eine Ersatzfunktion \underline{U} := {\cal L}(u): H_u \to \C zu überführen, welche nun jedoch auf einer offenen komplexen Halbebene H_u := \{s\in\C | \tn{Re} (s) > \gamma_u\} (mit einem von u festgelegten kleinsten Wert \gamma_u \in \R ) durch eine Integralvorschrift definiert ist. Da diese Transformation unter geeigneten Zusatzbedingungen wieder rückgängig gemacht werden kann, wird durch die Ersatzfunktion eine zunächst 'interpretationsfreie' aber 'gleichwertige' Beschreibung des Signales angeboten!

Die Transformation erlangt ihre wichtige praktische Bedeutung bei der Anwendung auf stetig-(reell)-differenzierbare Funktionen u:\R \to \C , welche zusammen mit ihren Ableitungsfunktionen durch eine Produktbildung mit der Heavisideschen Sprungfunktion \sigma   zulässige Signale bilden. Es gilt dann für s\in H_{\sigma }\cap H_{\sigma\cdot u^{\prime }} \subseteq H_{\sigma\cdot u}:

{\cal L}(\sigma\cdot u^{\prime })(s) = s\cdot {\cal L}(\sigma\cdot u)(s) - u(0)

(Transformation von Ableitungsfunktionen)

Die Laplace-Transformation ist daher zur einfachen Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten wie sie etwa bei der Beschreibung linearer Systeme in der Regelungstechnik auftreten prädestiniert!

Entry link: Laplace Transformation

M

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Es sei eine stetige Funktion f: I \to \R auf einem Intervall I\subseteq \R sowie zwei Punkte a,b\in I mit a < b gegeben so, dass f_{| (a|b)} reell-differenzierbar ist. Dann gibt es eine Stelle \zeta\in (a|b) mit

f^{\prime }(\zeta ) = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}

Im Spezialfall f(a)=f(b) spircht man auch von Satz von Rolle.

Bemerkung:

Dieser Satz läßt sich nicht auf 'komplexwertige' reell-differenzierbare Funktionen erweitern wie bereits die Funktion \tn{cis}:\R \to \C zeigt, da wegen \tn{cis} (x) := \exp (j\cdot x) für x\in\R stets  \tn{cis} ^{\,\prime }(x) = j\cdot \exp (j\cdot x)\ne 0 gilt, aber dennoch für a = 0 und b=2\pi der obige Differenzenquotient gleich Null wird!

Entry link: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Es seien a,b\in\R mit a < b, sowie f:[a|b] \to \R eine stetige Funktion sowie g:[a|b] \to [0|\infty ) Riemann-integrierbar mit \int_a^b g(t)\,dt = 1 (normierte Gewichtungsfunktion). Dann gibt es stets ein \zeta \in (a|b) mit:

f(\zeta ) = \int_a^b f(t)\cdot g(t)\, dt =: \mu_f

Man spricht auch von einem 'integralen Mittelwert' \mu_f der Funktion f über dem Intervall [a|b] bzgl. der normierten Gewichtungsfunktion g.

Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt eine solche Gewichtungsfunktion einen Spezialfall für eine 'Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion' und man notiert dann meist p := g. Der Mittelwert \mu_f =: E(f) wird in diesem Kontext auch der Erwartungswert der 'Zufallsgöße' f genannt.

Entry link: Mittelwertsatz der Integralrechnung

N

Nullstellenmenge

Ist \mathbb{K} ein Zahlkörper, etwa \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und f:D\to \mathbb{K} eine Funktion mit einem beliebigen Definitionsbereich D\ne \emptyset , dann heißt die Menge

{\cal N}_f :=\{ a\in D | f(a) = 0\}

die Nullstellenmenge von f, sowie deren Elemente die Nullstellen der Funktion f.

Stellt eine Nullstelle z_0\in {\cal N}_f einen inneren Punkt von D dar und gibt es eine weitere in z_0 stetige Funktion g:D\to\C mit g(z_0)\ne 0 sowie eine natürliche Zahl k\in\N so, dass die Darstellung

f(z) = (z-z_0)^k\cdot g(z)\quad (z\in D)

gilt, so ist k hierdurch eindeutig festgelegt und heißt die Ordnung oder auch Vielfachheit der Nullstelle. (vgl. hierzu eine Anwendung im Kontext vom 'Fundamentalsatz der Algebra')

Entry link: Nullstellenmenge

O

Offene Punktmengen

Es sei n\in\N sowie V\in\{\R^n, \C\}. Eine Punktmenge M\subseteq V heißt eine in V offene Punktmenge (bzgl. des Grundraumes V) genau dann, wenn V\setminus M abgeschlossen ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass sie ausschließlich aus 'inneren' Punkten besteht, d.h. mit ihrem 'offenen Kern' (d.h. der Menge aller inneren Punkte \underline{M}) identisch ist.

Entry link: Offene Punktmengen

offener Kern

Zu M\subseteq\R^n bildet man die Menge aller innerer Punkte (bzgl. des Grundraumes \R^n)

\underline{M} := \{\vec v \in M | \vec v \text{ ist innerer Punkt von } M\}

und nennt diese (größte) offene Teilmenge von M den offenen Kern von M Es gilt M = \underline{M}  genau dann, wenn M selbst eine  'offene Menge' (bzgl. des Grundraumes \R^n) darstellt, d.h. wenn \R^n\setminus M abgeschlossen ist. Da jeder Vektor aus \R^2 umkehrbar-eindeutig durch eine komplexe Zahl ausgetauscht werden kann, übertragen sich die Begriffe insbesondere auch auf M\subseteq\C .

Entry link: offener Kern

Orthogonalität

Es sein V ein Vektorraum mit Skalarbereich \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und g:V\times V \to\mathbb{K} eine in jeder der beiden Inputvariablen mindestens reell-lineare Funktion. Dann nennt man einen Vektor v\in V  orthogonal zu w\in V (bzgl. g) genau dann, wenn g(w,v) = 0 gilt.

Bemerkungen:

  • Wird etwa durch linear-unabhängige Vektoren b_1,\ldots ,b_n\in V via U := \tn{span}(b_1,\ldots ,b_n) ein Untervektorraum von V mit Basis {\cal B} := (b_1,\ldots ,b_n) beschrieben zu dem die Gram'sche Matrix G({\cal B}) = \left(g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} mit g_{k,l}({\cal B}) := g(b_k,b_l) umkehrbar (bzw. regulär) als auch die konjugiert-komplexe Umkehrmatrix \overline{G^{-1}({\cal B})} =: \widetilde G({\cal B}) =\left(\widetilde g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} gegeben ist und gilt zudem für \alpha,\beta\in \mathbb{K} die Regel  g(\alpha\cdot u_1,\beta\cdot u_2) = \overline \alpha\cdot \beta\cdot g(u_1,u_2) für alle u_1,u_2\in U, so läßt sich mit Hilfe der zur Basis {\cal B} assoziierten Vektoren \widetilde b_k :=\sum\limits_{l=1}^n\widetilde g_{k,l}({\cal B})\cdot b_l\in U jeder Vektor v\in V durch die lineare orthogonale Projektion {\cal P}_U: V\to U auf U in einen eindeutigen Anteil u:={\cal P}_U(v) := \sum\limits_{k=1}^n g(\widetilde b_k,v)\cdot b_k\in U sowie einen dazu orthogonalen Rest u^{\perp } := v-u zerlegen! Insbesondere ergibt sich speziell {\cal P}_U(v) = v falls v\in U ist und damit die k-te Koordinate zu v\in U bzgl. der vorgegebenen Basis durch \underline {\widetilde b}_k(v):=g(\widetilde b_k,v). Man nennt die Koordinatenbestimmungsfunktionen \underline {\widetilde b}_1,\ldots, \underline {\widetilde b}_n auch 'duale Basisvektoren', während man \widetilde {\cal B} := ({\widetilde b}_1,\ldots, {\widetilde b}_n) als die zu {\cal B} 'reziproke Basis' von U bezeichnet. Oft werden anstelle der \widetilde { } Notation 'obere Indizes' sowie die Einstein'sche Summationskonvention verwendet.
  • Ist g sogar ein reelles Skalarprodukt, so entspricht die Orthogonalität zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren der Aussage, dass sie bzgl. der durch das Skalarprodukt eingeführten Winkelmessung einen Winkel von \frac {\pi }2=90° zueinander aufweisen! Eine derartige Winkelmessung ist jedoch bei einem komplexen Skalarprodukt nicht mehr möglich.
  • Bei Verwendung des euklidischen Skalarproduktes beschreibt die euklidische Winkelmessung den 'anschaulich-intuitiven' Winkelbegriff. 

 

 

Entry link: Orthogonalität

P

Parallelotop

Es sei n,m\in\N mit n \le m sowie \vec a_1,\ldots ,\vec a_n, \vec x_0\in {\cal R}^m. Dann heißt die Punktmenge

{\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) := \left.\left\{\vec x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot \vec a_k\, \right |\, \alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in [0|1]\right\}

das von den Vektoren  \vec a_1,\ldots ,\vec a_n aufgespannte Paralleotop im {\cal R}^m mit Basispunkt \vec x_0. Die maximale Anzahl linear-unabhängiger Vektoren unter den aufspannenden Vektoren wird auch die Dimension des Paralleotops genannt.

Bemerkungen:

  • Im Falle n := 2\le m spricht man auch von einem Paralleogramm im {\cal R}^m. Sind zusätzlich die aufspannenden Vektoren \vec a_1,\vec a_2\in {\cal R}^m orthogonal bzgl. des euklidischen Skalarproduktes im {\cal R}^m, so spricht man von einem Rechteck - bzw. noch spezieller von einem Quadrat, falls auch noch |\vec a_1| = |\vec a_2| gilt.
  • Im Falle n := 3\le m spricht man auch von einem Spat, Parallelepiped oder Parallelflach im {\cal R}^m. Sind zusätzlich die aufspannenden Vektoren \vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\in {\cal R}^m paarweise orthogonal bzgl. des euklidischen Skalarproduktes im {\cal R}^m, so spricht man von einem Quader - bzw. noch spezieller von einem Würfel, falls auch noch |\vec a_1| = |\vec a_2| = |\vec a_3| gilt.
  • Betrachtet man mit A := (\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) die affin-lineare Vektorraumabbildung \vec f : {\cal R}^n \to {\cal R}^m definiert durch
                                    \vec f (\vec \alpha ) := \vec x_0 + A\cdot \vec \alpha\qquad (\vec \alpha\in {\cal R}^n)
    so beschreibt das Paralleotop {\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) gerade das Abbild des n-dimensionalen Einheitswürfels [0|1]^n = {\cal P}_{n,\vec 0}(\vec e_1,\ldots ,\vec e_n) durch die Funktion \vec f.
  • Einem n-dimensionalen Paralellotop im {\cal R}^m kann auf Grundlage des euklidischen Skalarproduktes ein n-dimensionaler Inhalt durch
                                   Vol_n({\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n)) := \sqrt {\tn{det}(G(A))} = \sqrt {\tn{det}(A^{tr}\cdot A)}
    wobei G(A) die Gram'sche Matrix zu A := (\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) bzgl. des euklidischen Skalarproduktes bezeichnet, zugeordnet werden! Für das euklidische Skalarprodukt gilt konkret G(A) = A^{tr}\cdot A - man beachte, das A eine m \times n Matrix aus n linear-unabhängigen Spaltenvektoren des {\cal R}^m beschreibt und die n \times n Matrix G(A) dann stets eine wohldefinierte positive Determinante besitzt! Die Definition erweitert sich in natürlicher Weise auch für linear-abhängige aufspannende Vektoren, wobei der n-dimensionale Inhalt dann den Wert Null annimmt.
  • Im Spezialfall n=m vereinfacht sich die Inhaltsberechnung eines n-dimensionalen Paralellotops im {\cal R}^n aufgrund des Determinanten-Multiplikationssatzes zweier n\times n Matrizen weiter zu:
                                   Vol_n({\cal P}_{n,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n)) = |\tn{det}(A)|
Entry link: Parallelotop

partielle Integration

Falls u,v: I \to\C auf einem offenen Intervall I\subseteq \R reell-differenzierbar sind, a,b\in I und u^{\prime }, v^{\prime }: I \to \C Riemann-integrierbar von a nach b sind, so gilt:

\int\limits_a^b u(t)\cdot v^{\prime }(t)\ dt = u(t)\cdot v(t)\mathop{|}_{t=a}^{t=b} - \int\limits_a^b u^{\prime }(t)\cdot v(t)\ dt

Entry link: partielle Integration

Polstelle

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\}, sowie D\subseteq \mathbb{K} offen in \mathbb{K}. Dann heißt ein Punkt z_0\in D eine Polstelle der Funktion f:D\setminus\{z_0\}\to\C , falls

\lim\limits_{z\to z_0} \frac 1{f(z)} = 0

gilt. Im Falle, dass es eine in z_0 stetige Funktion g: D \to \C mit g(z_0)\ne 0 und eine natürliche Zahl k\in\N gibt so, dass die Darstellung

f(z) = \frac {g(z)}{(z-z_0)^k}\qquad (z\in D\setminus\{z_0\})

möglich ist, so ist die Zahl k eindeutig festgelegt und wird die Ordnung der Polstelle genannt! Typische Beispiele für Funktionen mit Polstellen findet man bei rationalen Funktionen. Dort lässt die die Menge aller Polstellen mit der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms identifizieren.

Entry link: Polstelle

Polynomdivision

Es sei \mathbb{K} ein Skalarbereich sowie p,q:\mathbb{K}\to \mathbb{K} zwei Polynomfunktionen, wobei q nicht-konstant sei, d.h. \tn{Grad}(q)\ge 1 gelten soll. Dann gibt es stets zwei eindeutig bestimmte Polynome r,s:\mathbb{K}\to \mathbb{K} mit \tn{Grad}(r)<\tn{Grad}(q) so, dass

p(z) = s(z)\cdot q(z) + r(z)\qquad (z\in \mathbb{K})

gilt! Hierbei bezeichnet r das Restpolynom der Division von p durch q.

Bemerkung:

  • In der Kodierungstheorie werden zwei Polynome als "äquivalent modulo q" bezeichnet, wenn beide bei Division durch q das gleiche Restpolynom besitzen!
  • Die praktische Durchführung einer Polynomdivision wird im Rahmen vieler Anwendungen (wie etwa der Partialbruchzerlegung) nötig und kann dabei in Analogie zum bekannten Algorithmus der 'schriftlichen Division' von ganzen Zahlen durchgeführt werden. Zur effizienten numerischen Berechnung wird oft das sogenannte 'Horner Schema' eingesetzt, welches zusätzliche Funktionsauswertungen gestattet.
Entry link: Polynomdivision

Polynomfunktion

Es sei \mathbb{K} ein Zahlkörper, also etwa \mathbb{K}\in\{\R,\C\}, n\in\N sowie a_k\in \mathbb{K} für k\in\{0,\ldots ,n\}. Dann heißt jede Funktion p:\mathbb{K}\to\mathbb{K} der Bauform

p(z) := \sum\limits_{k=0}^n a_k\cdot z^k\qquad (z\in \mathbb{K})

eine Polynomfunktion mit den Koeffizienten a_0,\ldots ,a_n. Ist zudem a_n\ne 0, so heißt n der Grad der Polynomfunktion und man schreibt \tn{Grad}(p) :=n.

Bemerkung:

Entry link: Polynomfunktion

positiv-definite Matrix

Es sei \mathbb{K}\in\{\R , \C\} sowie A  eine (n\times n)-Matrix mit Zahlen aus \mathbb{K}. Dann heißt A  positiv-definit, genau dann wenn gilt:

\overline{\vec v^{\,tr}}\cdot A \cdot \vec v \in (0|\infty ) \tn{ f\"ur alle }\vec v\in \mathbb{K}^{(n,1)}\setminus\{\vec 0\}

Bemerkung:

  • Ist \overline A = A^{tr} so ist die positive Definitheit äquivalent damit, dass alle Eigenwerte der Matrix in (0|\infty ) liegen, also positive reelle Zahlen sind!
Entry link: positiv-definite Matrix

R

Rand

Es sei n\in\N . Der Rand einer Menge M\subseteq\R^n (bzgl. des Grundraumes \R^n) ist definiert durch genau diejenigen Punkte der abgeschlossenen Hülle, welche 'keine' inneren Punkte von M darstellen:

\text{Rd}(M) := \overline{M} \setminus \underline{M}

Beispiele:

  • \text{Rd}\left(B_n\left(\vec 0,1\right)\right) = \{\vec x\in\R^n\ |\ |\vec x|=1\} =: S^{n-1}   (Einheitsspähre)
  • \text{Rd}\left([0|1]\cap \Q\right) =[0|1]
Entry link: Rand

Rationale Funktionen

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\}, sowie p,q:\mathbb{K}\to \mathbb{K} zwei Polynomfunktionen mit \tn{Grad}(q)\in\N , dann heißt R:\mathbb{K}\setminus {\cal N}_q\to \mathbb{K} definiert durch

R(z) := \frac {p(z)}{q(z)}\quad (z\in \mathbb{K}\setminus {\cal N}_q)

eine (gebrochen) rationale Funktion über \mathbb{K}. Die Nullstellenmenge {\cal N}_q von q beschreibt hierbei die Menge der Definitionslücken von R.

Sind die Nullstellen von p und q verschieden, d.h. gilt {\cal N}_p \cap {\cal N}_q = \emptyset , so beschreibt {\cal N}_q zudem die Menge aller Polstellen von R, während {\cal N}_p = {\cal N}_R die Nullstellenmenge von R angibt. In diesem Falle nennt man das Maximum der Polynomgrade \tn{max} (\tn{Grad}(p),\tn{Grad}(q)) =: \tn{Grad}(R) auch den Grad der rationalen Funktion. Man nennt dann p auch 'das' Zählerpolynom bzw. q 'das' Nennerpolynom von R.

Bemerkung:

  • Man zählt die Polynomfunktionen ebenfalls zu den (unecht gebrochenen) rationalen Funktionen, indem man als Nennerpolynom zusätzlich von Null verschiedene Polynome vom  Grad eins zulässt.
  • Jede rationale Funktion über \C kann mittels einer sogenannten Partialbruchzerlegung in eine Summe einfacher rationaler Funktionen vom Grad eins (den sogenannten 'Partialbrüchen') und einer Polynomfunktion zerlegt werden! Diese Zerlegung bildet ein wichtiges Hilfsmittel bei der Bestimmung von Stammfunktionen, Laplace-Rücktransformationen als auch Taylorreihenentwicklungen.
Entry link: Rationale Funktionen

Reelles Skalarprodukt

Es bezeichne V einen Vektorraum mit Skalarbereich \R . Dann heißt jede Funktion g:V\times V \to \R welche in mindestens einer Inputvariablen linear ist, ein reelles Pseudo-Skalarprodukt, falls g(v,w)=g(w,v) für alle v,w\in V  (Symmetrie) und g(v,v) \ge 0 für alle v\in V (g ist positiv-semi-definit) gilt! Gilt zusätzlich auch noch g(v,v)\ne 0 für v\in V\setminus\{\cal O\} (Definitheit), so nennt man g ein reelles Skalarprodukt. Man sagt dann, dass V zusammen mit g einen reellen Prähilbertraum bildet. Alternativ schreibt man auch je nach Anwendung <v,w>_g := g(v,w) =: <v||w> für v,w\in V.

Durch ein reelles Pseudo-Skalarprodukt kann für v,w\in V eine Längen- und Winkelmessung durch

  • ||v||_g := \sqrt{g(v,v)} \qquad (Norm bzw. Betrag oder auch Länge des Vektor v bzgl. g)
  • \angle_g (v,w) := \arccos \left( \frac {g(v,w)}{||v||_g\cdot ||w||_g}\right) \tn{ falls } ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g \qquad (Winkel zwischen zwei Vektoren v,w bzgl. g)

eingeführt werden, da aufgrund des positiv-semi-definiten Verhaltens von g stets |g(v,w)| \le ||v||_g\cdot ||w||_g (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung) gilt!

Bemerkungen:

  • Man sagt, dass zwei Vektoren v,w\in V mit g(v,w)=0 bzgl. g orthogonal zueinander sind. Falls ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g gilt, entspricht dies einem Winkel von \frac {\pi }2=90°.
  • In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann ein reelles Pseudo-Skalarprodukt bzgl. einer vorgegebenen Basis auch durch ihre Gram'sche Matrix charakterisiert werden.
  • Im Falle V:={\cal R}^n wird als Standardskalarprodukt das euklidische Skalarprodukt \vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_e := g_e(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot w_k (engl.: dotproduct) eingesetzt.
  • Der Begriff des Skalarproduktes kann mit einer leichten Abwandlung auch auf Vektorräume mit Skalarbereich \C verallgemeinert werden. Man spricht dann von einem komplexen Skalarprodukt bzw. einem komplexen Prähilbertraum.
  • In der Quantenphysik werden speziell die Notationen <v| und |w> zur Bildung eines Skalarproduktes <v||w> (BRA KET) verwendet!
  • Fasst man die Bedingung der Definitheit und das positiv-semi-definite Verhalten von g zusammen, so spricht man von der positiven Definitheit von g, d.h. es gilt  zusammengefasst g(v,v) > 0 für alle v\in V\setminus\{\cal O\}. Aufgrund der Symmetrie bildet g dann eine positiv-definite Bilinearform.
Entry link: Reelles Skalarprodukt

Riemann-integrierbar

Eine komplexwertige Funktion F:I\to \C auf einem Intervall I\subseteq\R heißt Riemann-integrierbar genau dann, wenn für jedes a,b\in I das Riemann Integral von a nach b der reellwertigen Funktionen \tn{Re}\circ F, \tn{Im}\circ F:I\to\R existiert (vgl. hierzu die Definition der Riemann-Integrierbarkeit)! In diesem Falle schreibt man

\int\limits_a^b f(t)\ dt := \int\limits_a^b \tn{Re}(f(t))\ dt + j\cdot \int\limits_a^b \tn{Im}(f(t))\ dt

Bemerkung:

  • Die auf einem kompakten Intervall I beschränkten Funktionen die 'fast überall stetig' sind (d.h. das die Menge aller Unstetigkeitsstellen das eindimensionale Lebesgue'sche Inhaltsmaß Null besitzt, also eine 'eindimensionale Nullmenge' darstellt), charakterisieren genau die Menge aller Riemann-integrierbaren Funktionen auf I.
  • Somit ist sowohl die Addition als auch die Multiplikation zweier auf einem kompaktem Intervall I Riemann-integrierbarer Funktionen wieder Riemann-integrierbar!
  • Die Erweiterung der Integration auf 'Lebesgue-messbare' Integrationsbereiche im {\cal R}^n sowie Lebesgue-integrierbare Funktionen stellt in vielen Bereichen der Mathematik (wie etwa die der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik) die Grundlage für weitere Betrachtungen dar! Das Thema der 'Differentiation unter dem Integralzeichen' als auch die Frage nach der 'Integration von Grenzfunktiionen' können dort allgemein beantwortet werden! Die konkrete Berechnung deartiger Integrale kann zudem auf die geschachtelte 'mehrfache' Integration über eindimensionale Integrationsbereiche zurückgeführt werden! 
Entry link: Riemann-integrierbar

Rundung (IEEE-754-Standard)

Entgegen dem weit verbreiteten 'kaufmännischen Runden' wird gemäß dem IEEE-754-Standard in den Ingenieurwissenschaften das 'symmetrische Runden' der numerischen Mathematik verwendet, welches sich darin unterscheidet, dass für Zahlen die 'exakt' zwischen dem Auf- und Abrundungsergebnis liegen (siehe Regel 3) stets zu einer 'geraden letzten Ziffer' (entweder auf- oder ab-) gerundet wird. Treten gerade und ungerade Ziffern  gleich häufig auf, so werden im Mittel dadurch keine willkürlichen Rundungsverzerrungen erzeugt, weswegen diese Rundungsart auch im Bankwesen (Bankers Rounding) verwendet wird!

Beispiel: (Symmetrisches Runden auf die 'zweite' Nachkommastelle in einer Dezimaldarstellung)

  • 2,12499 ≈ 2,12 (nach Regel 1)
  • 2,12501 ≈ 2,13 (nach Regel 2)
  • 2,12500 ≈ 2,12 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)
  • 2,13500 ≈ 2,14 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)

Rundungsregeln des symmetrischen Rundens nach dem IEEE-754-Standard:

  1. Folgt auf die letzte zu rundende Ziffernstelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.
  2. Folgt auf die letzte zu rundende Ziffernstelle eine 5 (gefolgt von weiteren Ziffern, die 'nicht alle' null sind), 6, 7, 8 oder eine 9, so wird aufgerundet.
  3. Folgt auf die letzte zu rundende Ziffernstelle lediglich eine 5 (oder eine 5, auf die nur Nullen folgen), so wird derart gerundet, dass die letzte zu rundende Ziffer gerade wird.

 

Entry link: Rundung (IEEE-754-Standard)

S

Satz von Darboux

Es sei D\subseteq\R offen in \R sowie f:D\to\R eine Funktion zu der eine reell-differenzierbare Stammfunktion existiert (d.h. es gibt F:D\to\R mit F^{\prime\, } = f). Des weiteren sei I \subseteq D ein bel. Intervall. Dann bildet das Abbild f(I) ebenfalls ein Intervall, d.h. zu je zwei Funktionswerten aus f(I) bzw. F^{\prime }(I) treten auch alle Werte dazwischen als Funktionswerte aus f(I) auf! (Zwischenwerteigenschaft

Bemerkungen:

Entry link: Satz von Darboux

Sinuscardinalisfunktion

Zu jeder Vorgabe \alpha \in\C\setminus\{0\} heißt die dazu gebildete Funktion \tn{sinc}_{\alpha }:\C \to\C definiert durch

 

\tn{sinc}_{\alpha }(z) := \left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin (\alpha\cdot z)}{\alpha\cdot z} & \tn{ falls } z\ne 0\\[10pt] 1 & \tn{ falls }z=0\end{array}\right.\qquad\qquad

 

für z\in\C eine komplexe Sinuscardinalisfunktion. Je nach dem Anwendungsumfeld wird eine dort übliche Vorgabe für \alpha stillschweigend unterstellt und nicht mehr explizit notiert!

 

Bemerkungen:

  • Im Falle \alpha = 1 wird im deutschsprachigen Umfeld auch \tn{si} := \tn{sinc}_{1} verwendet, während andernsorts dafür eher \tn{sinc} verbreitet ist.
  • Speziell in der Signaltheorie tritt die Sinuscardinalisfunktion oft mit \alpha = \pi auf, so dass in unterstützenden Softwareapplikationen (wie etwa MATLAB) \tn{sinc} := \tn{sinc}_{\pi } üblich ist. Sie stellt dabei die Fouriertransformierte des normierten Rechteckimpulssignales \tn{rect} dar und besitzt die Nullstellenmenge \Z\setminus\{0\} .
Entry link: Sinuscardinalisfunktion

Sprungfunktion

Die sogenannte Heavisidesche Sprungfunktion \sigma :\R \to \{0,\frac 12, 1\} wird für t\in\R definiert durch

\sigma (t) := \left\{\begin{array}{ll} 0 & \tn{ falls } t <0 \\ \frac 12 & \tn{ falls } t=0 \\ 1 & \tn{ falls } t>0\end{array}\right.

und bildet eine normierte Grundform zur Beschreibung verschiedenster Sprungvarianten, wie etwa der Signumfunktion \tn{sign}:\R \to \{-1,0,1\} , welche durch

\tn{sign} (t) := 2\cdot \sigma (t) -1 \qquad (t\in\R )

 das Vorzeichen einer reellen Zahl t charakterisiert! Der Nullpunkt stellt die einzige Sprungstelle der Funktion dar. Des weiteren ergibt sich die Definition der normierten Rechteckimpulsfunktion \tn{rect}:\R\to\{0,\frac 12, 1\} damit ebenfalls zu:

\tn{rect}(t) :=\sigma\left(t+\frac 12\right) - \sigma\left(t-\frac 12\right)\qquad (t\in\R )

Entry link: Sprungfunktion

Sprungstelle

Man sagt, das eine Funktion f:D\to\C in einem Punkt t\in D\subseteq \R eine (nicht hebbare) Sprungstelle besitzt genau dann, wenn f in t sowohl einen links- als auch rechtsseitigen Grenzwert besitzt und diese nicht übereinstimmen, d.h. also eine absolute natürliche Sprunghöhe

|f(t+) - f(t-)| > 0

vorliegt! Gilt hingegen f(t+) = f(t-) \ne f(t) so liegt lediglich eine (stetig-hebbare) Sprungstelle vor, da durch eine geeignete Abänderung des Funktionswertes f(t) eine in t stetige Funktion erhalten werden kann.

Bemerkungen:

  • Somit liegt in jeder Sprungstelle also auch stets eine Unstetigkeitsstelle vor!
  • Verläuft der tatsächliche Funktionswert f(t) durch den arithmetischen Mittelwert von f(t+) und f(t-) so spricht man von der sogenannten Mittelwerteigenschaft der Funktion in dem betrachteten Punkt.
  • Während also stetige Funktionen keine Sprungstellen besitzen können, so gibt es durchaus Funktionen ohne Sprungstellen die dennoch unstetig sind! Als Beispiel hierzu mag f(t) := \sin \left(\frac 1t\right)\quad (t\in\R\setminus\{0\}) und f(0) := 0 dienen. (Vgl. hierzu etwa auch den Satz von Darboux)
Entry link: Sprungstelle

Stammfunktion

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\}, D\subseteq\C sowie G\subseteq\mathbb{K} eine in \mathbb{K} offene Menge und G\subseteq \widetilde D\subseteq\mathbb{K}. Dann heißt F:\widetilde D\to\C eine Stammfunktion zu f:D\to\C , falls F_{|G} zumindest \mathbb{K}-differenzierbar ist, sowie


D\subseteq G\quad\mbox{ und }\quad F^{\,\prime }(z) = f(z) \qquad \mbox{f\"ur alle } z\in D


gilt! Ist \mathbb{K}=\R so spricht man auch von einer 'Stammfunktion im Reellen', während man im Fall \mathbb{K}=\C von einer 'Stammfunktion im Komplexen' redet!

Bemerkungen:

Entry link: Stammfunktion

Standarddarstellung einer physikalischen Größe

Man spricht von einer 'Standarddarstellung einer physikalischen Größe' genau dann, wenn eine Dezimaldarstellung mit möglichst kleiner Anzahl von Ziffern ungleich Null vor dem Komma, gefolgt von einer physikalischen SI-Einheit in geeigneter Präfixnotation vorliegt. Unter SI-Präfixen für physikalische Einheiten versteht man dabei Kurzbezeichnungen die einer kohärenten SI-Einheit vorweggestellt werden können, wie z.B.:

G:=10^{9}, \quad M:=10^{6}, \quad k := 10^{3},\quad h:=10^2 \\ \qquad m := 10^{-3}, \quad \mu := 10^{-6}, \quad n := 10^{-9}, \quad p := 10^{-12}

Beispiele:

Unter den möglichen Darstellungen

0,0041234\ A = 4,1234\ mA = 4123,4\ \mu A

stellt jedoch nur 4,1234\ mA die Standarddarstellung dar! 

 

Entry link: Standarddarstellung einer physikalischen Größe

Stetigkeit

Es sei z_0\in D\subseteq\C sowie f:D\to\C . Dann heißt f stetig im Punkt z_0 genau dann, falls für jede Zahlenfolge (a_n)_{n\in\N } aus D, welche mit Grenzwert z_0 konvergiert auch \lim\limits_{n\to\infty } f(a_n) = f(z_0) folgt! Ist f in allen Punkten aus D stetig, so nennt man auch die gesamte Funktion stetig.

Bemerkung:

Entry link: Stetigkeit

Substitutionsregel

Falls f: I\to\C stetig und \varphi : I_1 \to I reell-differenzierbar sowie \varphi^{\,\prime } zumindest Riemann-integrierbar ist mit I_1, I\subseteq\R offene Intervalle, so gilt für a,b\in I_1 :

\int\limits_a^b f(\underbrace{\varphi (t)}_{=:\tau })\cdot\underbrace{\varphi^{\prime }(t)\ dt}_{= d\tau } = \int\limits_{\varphi (a)}^{\varphi (b)} f(\tau )\ d\tau

Bemerkung:

Entry link: Substitutionsregel

Surjektivität

Eine Funktion f:A\to B heißt surjektiv (oder auch eine Surjektion), genau dann wenn es zu jeder Vorgabe b\in B mindestens eine Lösung a\in A der Gleichung f(a)=b gibt.

Entry link: Surjektivität

T

Tangentenfunktion

Die Tangentenfunktion T_{x_0} zu einer im inneren Punkt x_0\in D_0\subseteq\R reell-differenzierbaren Funktion f:D_0\to \R ist definiert durch T_{x_0}(x) := f(x_0) + df_{x_0}(x-x_0) für x\in\R , wobei die Funktion df_{x_0} das Differential beschreibt!

 

Entry link: Tangentenfunktion

Taylorpolynom

Zu \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und einer m-mal \mathbb{K}-differenzierbaren Funktion f: D \to \C auf einem in \mathbb{K} offenen Definitionsbereich D\subseteq \mathbb{K} wird zu einem sogenannten Entwicklungspunkt z_0\in D und n\le m ein Näherungspolynom (das sogenannte Taylorpolynom zu f im Entwicklungspunkt z_0 der Ordnung n) durch

p_{f,n,z_0}(z) := \sum\limits_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}\cdot (z-z_0)^k \qquad (z\in \C )

bereitgestellt. Zur Abschätzung der Restfehlerfunktion (auch kurz Restglied genannt)

R_{f,n,z_0}(z) := f(z)-p_{f,n,z_0}(z) \quad (z\in D)

kann für n<m und z_0+t\cdot (z-z_0)\in D für alle t\in [0|1] die allgemeine Integraldarstellung

R_{f,n,z_0}(z) = \frac {(z-z_0)^{n+1}}{n!} \int\limits_0^1 (1-t)^n\cdot f^{(n+1)}(z_0+t\cdot (z-z_0))\,dt

verwendet werden. Ist darüber hinaus f auf B(z_0,R) \subseteq D\subseteq \C = \mathbb{K} mit R\in (0|\infty ) sogar komplex-differenzierbar, so ist f sogar bel. oft komplex-differenzierbar und es gilt:

\lim\limits_{n\to \infty } R_{f,n,z_0}(z) = 0 \quad (\text{ f\"ur }|z-z_0|<R)

bzw.

f(z) = \lim\limits_{n\to \infty } p_{f,n,z_0}(z) =: \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}\cdot (z-z_0)^k \quad (\text{ f\"ur } |z-z_0|<R)

 (Taylorreihendarstellunng von f im Entwicklungspunkt z_0)

Entry link: Taylorpolynom

Teilfolge

Eine Folge (d_n)_{n\in\N } heißt eine Teilfolge einer Folge (a_n)_{n\in\N } genau dann, wenn es eine streng-monoton-steigende Folge (\mu_n)_{n\in\N } natürlicher Zahlen gibt, so dass d_n = a_{\mu_n} für alle n\in\N gilt! 

Bemerkung: So ist etwa mit \mu_n := n+1 die durch d_n := a_{n+1} für n\in\N festgelegte Folge (d_n)_{n\in\N } bereits eine Teilfolge von (a_n)_{n\in\N }.

Entry link: Teilfolge

V

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (engl.: cross product) zweier Vektoren \vec v,\vec w\in {\cal R}^3 legt (wie der Name schon sagt) einen weiteren Vektor des {\cal R}^3 fest, welcher jeweils zu \vec v als auch zu \vec w einen euklidischen Winkel von \frac {\pi }2=90° und als euklidische Länge den Flächeninhalt des von \vec v und \vec w aufgespannten Parallelogramms aufweist. Die Definition lautet:

\vec v \times \vec w := \sum\limits_{k=1}^3 \tn{det}(\vec v,\vec w,\vec e_k)\cdot\vec e_k= \left(\begin{array}{c}v_2w_3-v_3w_2\\ v_3w_1 - v_1w_3\\ v_1w_2 -v_2w_1\end{array}\right)\qquad (\tn{f\"ur }\vec v,\vec w\in {\cal R}^3)

Unter Verwendung der euklidischen Längen- und Winkelmessung (vgl. euklidisches Skalarprodukt) gilt für \vec a,\vec b,\vec c\in {\cal R}^3:

  • |\vec a\times \vec b| = |\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \sin (\angle (\vec a,\vec b))

  • \vec a\bullet (\vec b\times \vec c) = \tn{det}(\vec a,\vec b,\vec c)     (Spatprodukt)

 Bemerkung: Für n\in\N mit n\ge 2 und \vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1}\in {\cal R}^n kann in analoger Weise durch

\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1}) :=\sum\limits_{k=1}^n\tn{det}(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1},\vec e_k)\cdot \vec e_k\in {\cal R}^n

stets ein kanonischer Normalenvektor bereitgestellt werden, der bzgl. des euklidischen Skalarproduktes orthogonal zu allen vorgegebenen Vektoren \vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1} als auch zu allen Vektoren aus dem (n-1)-dimensionalen Untervektorrraum U := \tn{span}\{\vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1}\} steht und mit dem zusätzlich stets \tn{det}(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1},\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1}))\ge 0 gilt - man spricht dann von der 'positiven Orientiertheit' des geordneten Systems der Vektoren (\vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1},\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1})).

Entry link: Vektorprodukt

Versor

Die 2\pi -periodische, surjektive Funktion \tn{cis}:\R \to K(0,1) ordnet jeder reellen Zahl \varphi\in\R durch \tn{cis}(\varphi ):=e^{j\varphi } einen Punkt auf der Einheitskreislinie zu.  Man spricht in der Elektrotechnik auch von der Versorfunktion und schreibt \angle \varphi := \tn{cis}(\varphi ). Die Bezeichnung \tn{cis} soll an die alternative Darstellung durch die Euler'sche Identität \tn{cis}(\varphi ) = e^{j\varphi } = \cos (\varphi ) + j\cdot \sin (\varphi ) erinnern!

Bemerkung:

  • Durch \varphi\in [0|2\pi ) wird dabei die Länge des Kreisbogenweges mit Radius eins beschrieben, welcher sich ausgehend vom Punkt \tn{cis}(0) = 1 entgegen dem Uhrzeigersinn entlang der Einheitskreislinie bis zum Punkt \tn{cis}(\varphi ) erstreckt.
  • Da \tn{cis}_{|(-\pi | \pi]} injektiv ist, kann jedem Punkt w\in K(0,1) der Einheitskreislinie durch die Umkehrfunktion ein eindeutiger Standardpolarwinkel im Bereich (-\pi | \pi] zugeordnet werden. Dies führt schließlich zur Einführung der Argumentfunktion zur Bestimmung einer standardisierten Polardarstellung einer komplexen Zahl z\in\C\setminus\{0\}.
Entry link: Versor

Z

Zahlkörper

Ein Zahlkörper oder Skalarbereich beschreibt eine Menge \mathbb{K} von Objekten (Zahlen bzw. Skalare genannt) zusammen mit zwei Verknüpfungsvorschriften (Addition und Multiplikation) so, dass bestimmte Rechenregeln garantiert sind! Vgl. hierzu das Begleitblatt 'Zahlen und Grundrechenarten'.

Beispiele für Zahlkörper sind etwa die Menge der komplexen Zahlen \C , die darin enthaltene Menge der reellen Zahlen \R , die wiederum darin enthaltene Menge \Q der rationalen Zahlen oder auch \mathbb{B} := \{0,1\} die Menge der boolschen Zahlen.

Entry link: Zahlkörper

Zwischenwertsatz

Es sei D\subseteq \R  sowie f:D \to \R stetig und I \subseteq D ein bel. Intervall. Dann ist das Abbild f(I) ebenfalls ein Intervall in \R , d.h. zu je zwei Funktionswerten aus f(I) treten auch alle Werte dazwischen wieder als Funktionswerte in f(I) auf! (Zwischenwerteigenschaft)

Bemerkungen:

Entry link: Zwischenwertsatz


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