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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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F

Funktionen mit Mittelwerteigenschaft

Man sagt, das eine Funktion f:D\to\C in einem Punkt t\in D\subseteq \R die sogenannte Mittelwerteigenschaft besitzt genau dann, wenn f in t sowohl einen links- als auch rechtsseitigen Grenzwert besitzt deren arithmetischer Mittelwert den Funktionswert beschreibt:

f(t) = \dfrac {f(t+) + f(t-)}2

Bemerkungen:

  • Ist f in einem Punkt t\in D stetig, so besitzt f dort die Mittelwerteigenschaft.
  • Ist f in einem Punkt t\in D unstetig, so besagt die Mittelwerteigenschaft, das der Funktionswert "die halbe (natürliche) Sprunghöhe durchläuft".
  • Die Sprungfunktion \sigma besitzt in allen Punkten aus \R die Mittelwerteigenschaft.
  • Ist f im Punkt t\in D stetig, so besitzt selbst \sigma\cdot f dort noch die Mittelwerteigenschaft.
  • Betrachtet man für t\in\R die Funktionsvorschrift f(t) :=\sin (\frac {\pi }t) für t\ne 0 und f(0) := 0, so besitzt f im Punkt t=0 eine Unstetigkeitsstelle die keine Sprungstelle ist, d.h. für die keine links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte existieren! Daher besitzt f dort auch nicht die Mittelwerteigenschaft, obwohl f eine ungerade Funktion ist.
Entry link: Funktionen mit Mittelwerteigenschaft

Funktionen mit stückweisen Eigenschaften

Es sei \emptyset \ne {\cal G} \subseteq \{g:D\to\C | D\subseteq \R \tn{ offen } \} eine Menge von Funktionen mit einer vorgegebenen Eigenschaft und \emptyset\ne I\subseteq\R ein Intervall mit linkem Randpunkt a und rechtem Randpunkt b. Man sagt dann, dass eine Funktion f:I\to\C stückweise aus {\cal G} ist genau dann, wenn es eine Zerlegung a=t_0 < t_1 < \cdots < t_m=b in m\in\N Teilintervalle I_k := (t_{k-1} | t_k) gibt, so dass für jedes k\in\{1,\ldots ,m\} eine Funktion g_k\in {\cal G} existiert deren offener Definitonsbereich den Abschluss von I_k umfasst (d.h. \overline I_k\subseteq \tn{dom} (g_k) gilt) und f(t) = g_k(t) für alle t\in I_k gilt. An den Teilintervallgrenzen gibt es bewusst keine Forderungen an f!

Bemerkungen:

  • Ist {\cal G} etwa die Menge aller stetigen komplex-wertigen Funktionen mit in \R offenen Definitionsbereichen, so spricht man bei f von einer stückweise stetigen Funktion! D.h. es darf endlich viele Unstetigkeitsstellen geben, in denen jedoch noch links- bzw. rechtseitige Grenzübergange exitieren.
  • Ist {\cal G} die Menge aller n-mal stetig-(reell)-differenzierbaren komplex-wertigen Funktionen (mit in \R offenen Definitionsbereichen und n\in\N ), so spricht man von einer stückweise n-mal stetig-(reell)-differenzierbaren Funktion! Somit ist f auf allen offenen Teilintervallen n-mal stetig-(reell)-differenzierbar und es existieren für alle Ableitungen die links- bzw. rechtsseiten Grenzübergänge zu den Teilintervallgrenzen.
  • Warnung: Aus der Rechteckschwingung f(t) := \tn{sign}(\sin(t))\ (t\in (-\infty |\infty ) ) entsteht jedoch nur nach Einschränkung auf ein beliebiges beschränktes Intervall I eine stückweise stetige Funktion f_{|_I}. Die nicht eingeschränkte Gesamtfunktion f ist hingegen nicht stückweise stetig, da sie 'unendlich' viele Sprungstellen besitzt!
Entry link: Funktionen mit stückweisen Eigenschaften

G

Gram'sche Matrix

Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Skalarbereich \mathbb{K}\in\{\R,\C\} ,d.h. ein Vektorraum,  welcher von linear unabhängigen Vektoren b_1,\ldots b_n\in V aufgespannt wird (V = \tn{span}(b_1,\ldots b_n)). Dann kann jede in beiden Inputvariablen mindestens reell-lineare Funktion  g:V\times V \to \mathbb{K} welche zudem g(\alpha\cdot v_1,\beta \cdot v_2) = \overline \alpha \cdot \beta \cdot g(v_1,v_2) für alle v_1,v_2\in V und \alpha,\beta\in \mathbb{K} erfüllt, bzgl. der vorgegebenen Basis {\cal B} :=(b_1,\ldots b_n) eindeutig durch eine Matrix G({\cal B})=\left(g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} (Gram'sche Matrix) Zahlen via

g(v,w) = \sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^n \overline \alpha_k\cdot g_{k,l}({\cal B})\cdot \beta_l   mit   v=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot b_k   und   w=\sum\limits_{l=1}^n\beta_l\cdot b_l

(d.h. hierin benennen \alpha_k, \beta_l \in\mathbb{K} die 'Koordinaten' der Vektoren bzgl. der Basis {\cal B}) beschrieben werden. Die Matrixelemente sind zudem durch die Beziehung g_{k,l}({\cal B}) = g(b_k,b_l) charakterisiert.

Bemerkungen:

  • Verwendet man im Falle V={\cal R}^n die Standardbasis (\vec e_1,\ldots ,\vec e_n), so besitzt etwa das euklidische Skalarprodukt g_e  die Einheitsmatrix als Gram'sche Matrix und die Komponenten von Spaltenvektoren bilden gleichzeitig die Koordinaten bzgl. der Standardbasis.
  • Im {\cal R}^m mit n\le m ergibt sich etwas allgemeiner für bel. linear-unabhängige Vektoren \vec b_1,\ldots \vec b_n\in {\cal R}^m  und V := \tn{span}(\vec b_1,\ldots \vec b_n)\subseteq {\cal R}^m die Gram'sche Matrix zu {\cal B} := (\vec b_1,\ldots \vec b_n) bzgl. des euklidischen Skalarprodukts g_e konkret zu G({\cal B}) = {\cal B}^{tr}\cdot {\cal B} und bildet eine reelle positiv-definite Matrix mit (in diesem Falle notwendigerweise) positiver Determinante.
  • Ist \mathbb{K}=\R und die Gram'sche Matrix eine symmetrische und positiv-definite Matrix, so beschreibt die bilineare Funktion g stets ein reelles Skalarprodukt (auch Metriktensor oder metrischer Tensor genannt). Ist die Gram'sche Matrix lediglich symmetrisch und umkehrbar (bzw. regulär), so heißt g auch ein Pseudo-Metriktensor oder auch pseudometrischer Tensor. Diese werden im Rahmen der Relativitätstheorie (n=4) benötigt.
Entry link: Gram'sche Matrix

Grenzwertbildung von Funktionswerten

Es sei D\subseteq\C sowie f:D\to\C eine Funktion, sowie z_0\in \overline D\ (Abschluss der Menge D). Falls es eine Zahl g\in\C so gibt, dass für alle konvergenten Folgen (a_n)_{n\in\N } aus D mit Grenzwert z_0 auch die Folge der Funktionswerte stets gegen den gleichen Wert g = \lim\limits_{n\to\infty } f(a_n) konvergieren, dann schreibt man hierfür abkürzend: \lim\limits_{z\to z_0} f(z) = g.

Bemerkung:

  • Wie etwa die Funktion f:\R\setminus\{0\} \to\R definiert durch f(x) := \cos\left(\frac {\pi }x\right)\ (x\in\R\setminus\{0\})\ für z_0 := 0 zeigt, braucht eine solche Grenzwertbildung im allgemeinen nicht immer möglich zu sein!
  • Ist z_0\in D, so ist f genau dann stetig, wenn sogar \lim\limits_{z\to z_0} f(z) = f(z_0) gilt!
  • Ist speziell D\subseteq \R sowie x_o\in \overline D und betrachtet man die Einschränkungen von f auf D_+ := (x_o|\infty )\cap D oder D_- := (-\infty |x_o)\cap D, so schreibt man auch f(x_o+) := \lim\limits_{x\to x_o+} f(x) := \lim\limits_{x\to x_o} f_{|D_+}(x)\ (rechtsseitige Grenzwertbildung) bzw. f(x_o-) := \lim\limits_{x\to x_o-} f(x) := \lim\limits_{x\to x_o} f_{|D_-}(x)\ (linksseitige Grenzwertbildung)

 

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H

Hauptsatz der Lebesgue-Integralrechnung

Es sei F: I\to\C reell-differenzierbar auf einem offenen Intervall I\subseteq\R a,b\in I mit a\le b sowie F^{\prime }: I\to\C Lebesgue-integrierbar über [a|b]. Dann gilt:

F(b) - F(a) = \int\limits_{[a|b]} F^{\prime }(t)\ d\lambda (t)

Im Spezialfall, dass F^{\prime } lediglich Riemann-integrierbar auf [a|b] ist, folgt hieraus insbesondere der Hauptsatz der Riemann-Integralrechnung.

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Hauptsatz der Riemann-Integralrechnung

Es sei F: I\to\C reell-differenzierbar auf einem offenen Intervall I\subseteq\R , a,b\in I sowie F^{\prime }: I\to\C Riemann-integrierbar

von a nach b. Dann gilt:

F(b) - F(a) = \int\limits_a^b F^{\prime }(t)\ dt

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I

Injektivität

Eine Funktion f:A\to B heißt injektiv (oder auch eine Injektion), genau dann wenn es zu jeder Vorgabe b\in B höchstens eine (d.h. entweder genau eine oder garkeine) Lösung a\in A der Gleichung f(a)=b gibt.

 

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innerer Punkt

Ein Punkt \vec x\in M\subseteq \R^n heißt innerer Punkt von M (bzgl. des n-dimensionalen Grundraumes \R^n) genau dann, wenn es eine ganze Umgebung U := \{\vec v\in\R^n | |\vec v - \vec x| < r \} mit Radius r\in (0|\infty ) gibt, welche vollständig in M enthalten ist, also U\subseteq M gilt. Im Falle n=2 übertragen sich die Begriffe sinngemäß auf komplexe Zahlen anstelle der zweidimensionalen Vektoren sowie M\subseteq \C - im Falle n=1 verzichtet man natürlicherweise auf die Vektorschreibweise.

Man fasst alle inneren Punkte einer Menge M zum sogenannten 'offenen Kern von M' zusammen:

\underline{M} := \{\vec v\in M | \vec v \text{ ist innerer Punkt von } M\}

 

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K

Kompakte Punktmengen

Eine Menge M\subseteq\C heißt kompakt (oder auch ein Kompaktum) genau dann, wenn Sie abgeschlossen und beschränkt ist, d.h. M=\overline M gilt und es eine Zahl R\in (0|\infty ) gibt, so dass |z|<R \tn{ f\"ur alle } z\in M gilt!

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Komplexe Logarithmusfunktion

Durch Einschränkung der Exponentialfunktion auf den sogenannten Fundamentalstreifen B :=\{z\in\C | -\pi < \tn{Im}(z) \le \pi \} (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') entsteht eine bijektive Abbildung \tn{exp}_{|B}: B\to\C\setminus\{0\} deren Umkehrfunktion \tn{ln} := \left(\tn{exp}_{|B}\right)^{-1}:\C\setminus\{0\} \to B die komplexe natürliche Logarithmusfunktion genannt wird. Durch Einschränkung auf die reelle Achse ergibt sich analog als Umkehrfunktion der bijektiven Abbildung \tn{exp}_{|\R }: \R\to (0|\infty ) die reelle natürliche Logarithmusfunktion \tn{ln}_{\R } := \left(\tn{exp}_{|\R}\right)^{-1}: (0|\infty ) \to \R als eine der elementaren Funktionen der Schulmathematik. Zwischen beiden Funktionen besteht der explizite Zusammenhang \tn{ln}(w) = \tn{ln}_{\R }(|w|) + j\cdot \tn{arg}(w) für alle w\in\C\setminus\{0\} welche die arithmetische Darstellung des Funktionwertes \tn{ln}(w) angibt. 

Bemerkung:

  • Die komplexe natürliche Logarithmusfunktion ist genau in den Punkten z\in\C\setminus (-\infty | 0] komplex-differenzierbar mit Ableitung \tn{ln}^{\prime }(z) = \frac 1z. Aufgrund der Unstetigkeit der Argumentfunktion für Punkte z\in (-\infty |0) ist auch \tn{ln} dort unstetig!
  • Die komplexe Logarithmusfunktion \tn{log}_a:\C\setminus\{0\} \to B_a zur Basis a\in\C\setminus\{0,1\} ist dann definiert durch \tn{log}_a(w) := \frac {\tn{ln}(w)}{\tn{ln}(a)} für w\in\C\setminus\{0\} und B_a := \{\frac z{\tn{ln}(a)} | z\in B \} und kehrt die Exponentialfunktion zur Basis a auf dem Fundamentalbereich B_a um, d.h. es gilt a^{\tn{log}_a(w)} = w \tn{ f\"ur alle } w\in\C\setminus\{0\}.
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