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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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K

Komplexes Skalarprodukt

Es bezeichne V einen Vektorraum mit Skalarbereich \C . Dann heißt jede Funktion g:V\times V \to \C welche in mindestens einer Inputvariablen linear ist, ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt, falls g(v,w)=\overline{g(w,v)} für alle v,w\in V  (hermitesche Symmetrie) und g(v,v) \in [0|\infty ) für alle v\in V (g ist positiv-semi-definit) gilt! Gilt zusätzlich auch noch g(v,v)\ne 0 für v\in V\setminus\{\cal O\} (Definitheit), so nennt man g ein komplexes Skalarprodukt. Man sagt dann, dass V zusammen mit g einen komplexen Prähilbertraum bildet. Alternativ schreibt man auch je nach Anwendung <v,w>_g := g(v,w) =: <v||w> für v,w\in V.

Durch ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt kann für v,w\in V eine Längen- und Winkelmessung durch

  • ||v||_g := \sqrt{g(v,v)} \qquad (Norm bzw. Betrag oder auch Länge des Vektor v bzgl. g)
  • \angle_g (v,w) := \arccos \left( \frac {\tn{Re}(g(v,w))}{||v||_g\cdot ||w||_g}\right) \tn{ falls } ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g \qquad (Winkel zwischen zwei Vektoren v,w bzgl. g)

eingeführt werden, da aufgrund des positiv-semi-definiten Verhaltens von g stets |\tn{Re}(g(v,w))|\le |g(v,w)| \le ||v||_g\cdot ||w||_g (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung) gilt!

Bemerkungen:

  • Man sagt, dass zwei Vektoren v,w\in V mit g(v,w)=0 bzgl. g orthogonal zueinander sind. Falls ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g gilt, entspricht dies einem Winkel von \frac {\pi }2=90°. Umgekehrt impliziert ein Winkel von \frac {\pi }2=90° zwischen zwei Vektoren jedoch nicht mehr die Orthogonalität bzgl. g, da dann lediglich  \tn{Re}(g(v,w))=0 zu gelten braucht!
  • In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann ein reelles Pseudo-Skalarprodukt bzgl. einer vorgegebenen Basis auch durch ihre Gram'sche Matrix charakterisiert werden.
  • Im Falle V:={\C}^n wird als Standardskalarprodukt das Skalarprodukt \vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_{\C} := g_{\C}(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot \overline w_k (engl.: dotproduct) eingesetzt. Diese Produkt erweitert das bekannte euklidische Skalarprodukt des reellen Vektorraumes {\cal R}^n.
  • Das komplexe Skalarprodukt ist durch formale Erweiterung des reellen Skalarproduktes entststanden.
  • In der Quantenphysik werden speziell die Notationen <v| und |w> zur Bildung eines Skalarproduktes <v||w> (BRA KET) verwendet!
  • Fasst man die Bedingung der Definitheit und das positiv-semi-definite Verhalten von g zusammen, so spricht man von der positiven Definitheit von g, d.h. es gilt  zusammengefasst g(v,v) \in (0|\infty ) für alle v\in V\setminus\{\cal O\}. Fordert man die Linearität konkret in der 'zweiten' Komponente so spricht man speziell von einer positiv-definiten Sesquilinearform.
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Konvergenz von Zahlen- und Vektorfolgen

Eine Folge (a_n)_{n\in\N } komplexer Zahlen heißt konvergent mit Grenzwert g\in\C genau dann, wenn es zu jeder Vorgabe \varepsilon\in (0|\infty ) ein hierzu geeignetes n_0\in\N so gibt, dass für alle n\in\N mit n\ge n_0 die Folgenglieder a_n in der Kreisscheibe um g mit Radius \varepsilon liegen, d.h. also |a_n-g| < \varepsilon gilt.

Als Kurznotation dieser Aussage verwendet man: '\lim\limits_{n\to\infty } (a_n) = g' oder auch 'a_n\to g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty '

Der Begriff der Konvergenz erweitert sich in natürlicher Weise auf Folgen (\vec a_n)_{n\in\N } komplexer Zahlenspalten einer bel. endlichen Dimension, indem man die Existenz eines Grenzvektors \vec g fordert für den die Konvergenz der Zahlenfolge \lim\limits_{n\to\infty } |\vec a_n - \vec g| = 0 gezeigt werden kann. 

Als Kurznotation verwendet man auch hier : '\lim\limits_{n\to\infty }(\vec a_n) = \vec g' bzw. '\vec a_n\to \vec g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty '

Eine Zahlen- oder Vektorfolge die nicht konvergent ist heißt divergent.

Bemerkung:

  • Jede konvergente Folge ist beschränkt, jedoch nicht jede beschränkte Folge konvergent (wie etwa a_n := (-1)^n\ \ (n\in\N ) zeigt).
  • Gilt a_n\in (0|\infty ) für alle n\in\N als auch \lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0, so ist (a_n)_{n\in\N } nach oben unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen \infty ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' \lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = \infty .
  • Gilt analog a_n\in (-\infty |0) für alle n\in\N als auch \lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0, so ist (a_n)_{n\in\N } nach unten unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen -\infty ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' \lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = -\infty .
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L

Laplace Transformation

Die Laplace-Transformation \cal L ist eine lineare Funktion, welche es gestattet, jedes sogenannte  'zulässige' Signal u:\R \to \C in eine Ersatzfunktion \underline{U} := {\cal L}(u): H_u \to \C zu überführen, welche nun jedoch auf einer offenen komplexen Halbebene H_u := \{s\in\C | \tn{Re} (s) > \gamma_u\} (mit einem von u festgelegten kleinsten Wert \gamma_u \in \R ) durch eine Integralvorschrift definiert ist. Da diese Transformation unter geeigneten Zusatzbedingungen wieder rückgängig gemacht werden kann, wird durch die Ersatzfunktion eine zunächst 'interpretationsfreie' aber 'gleichwertige' Beschreibung des Signales angeboten!

Die Transformation erlangt ihre wichtige praktische Bedeutung bei der Anwendung auf stetig-(reell)-differenzierbare Funktionen u:\R \to \C , welche zusammen mit ihren Ableitungsfunktionen durch eine Produktbildung mit der Heavisideschen Sprungfunktion \sigma   zulässige Signale bilden. Es gilt dann für s\in H_{\sigma }\cap H_{\sigma\cdot u^{\prime }} \subseteq H_{\sigma\cdot u}:

{\cal L}(\sigma\cdot u^{\prime })(s) = s\cdot {\cal L}(\sigma\cdot u)(s) - u(0)

(Transformation von Ableitungsfunktionen)

Die Laplace-Transformation ist daher zur einfachen Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten wie sie etwa bei der Beschreibung linearer Systeme in der Regelungstechnik auftreten prädestiniert!

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M

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Es sei eine stetige Funktion f: I \to \R auf einem Intervall I\subseteq \R sowie zwei Punkte a,b\in I mit a < b gegeben so, dass f_{| (a|b)} reell-differenzierbar ist. Dann gibt es eine Stelle \zeta\in (a|b) mit

f^{\prime }(\zeta ) = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}

Im Spezialfall f(a)=f(b) spircht man auch von Satz von Rolle.

Bemerkung:

Dieser Satz läßt sich nicht auf 'komplexwertige' reell-differenzierbare Funktionen erweitern wie bereits die Funktion \tn{cis}:\R \to \C zeigt, da wegen \tn{cis} (x) := \exp (j\cdot x) für x\in\R stets  \tn{cis} ^{\,\prime }(x) = j\cdot \exp (j\cdot x)\ne 0 gilt, aber dennoch für a = 0 und b=2\pi der obige Differenzenquotient gleich Null wird!

Entry link: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Es seien a,b\in\R mit a < b, sowie f:[a|b] \to \R eine stetige Funktion sowie g:[a|b] \to [0|\infty ) Riemann-integrierbar mit \int_a^b g(t)\,dt = 1 (normierte Gewichtungsfunktion). Dann gibt es stets ein \zeta \in (a|b) mit:

f(\zeta ) = \int_a^b f(t)\cdot g(t)\, dt =: \mu_f

Man spricht auch von einem 'integralen Mittelwert' \mu_f der Funktion f über dem Intervall [a|b] bzgl. der normierten Gewichtungsfunktion g.

Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt eine solche Gewichtungsfunktion einen Spezialfall für eine 'Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion' und man notiert dann meist p := g. Der Mittelwert \mu_f =: E(f) wird in diesem Kontext auch der Erwartungswert der 'Zufallsgöße' f genannt.

Entry link: Mittelwertsatz der Integralrechnung

N

Nullstellenmenge

Ist \mathbb{K} ein Zahlkörper, etwa \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und f:D\to \mathbb{K} eine Funktion mit einem beliebigen Definitionsbereich D\ne \emptyset , dann heißt die Menge

{\cal N}_f :=\{ a\in D | f(a) = 0\}

die Nullstellenmenge von f, sowie deren Elemente die Nullstellen der Funktion f.

Stellt eine Nullstelle z_0\in {\cal N}_f einen inneren Punkt von D dar und gibt es eine weitere in z_0 stetige Funktion g:D\to\C mit g(z_0)\ne 0 sowie eine natürliche Zahl k\in\N so, dass die Darstellung

f(z) = (z-z_0)^k\cdot g(z)\quad (z\in D)

gilt, so ist k hierdurch eindeutig festgelegt und heißt die Ordnung oder auch Vielfachheit der Nullstelle. (vgl. hierzu eine Anwendung im Kontext vom 'Fundamentalsatz der Algebra')

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O

Offene Punktmengen

Es sei n\in\N sowie V\in\{\R^n, \C\}. Eine Punktmenge M\subseteq V heißt eine in V offene Punktmenge (bzgl. des Grundraumes V) genau dann, wenn V\setminus M abgeschlossen ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass sie ausschließlich aus 'inneren' Punkten besteht, d.h. mit ihrem 'offenen Kern' (d.h. der Menge aller inneren Punkte \underline{M}) identisch ist.

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offener Kern

Zu M\subseteq\R^n bildet man die Menge aller innerer Punkte (bzgl. des Grundraumes \R^n)

\underline{M} := \{\vec v \in M | \vec v \text{ ist innerer Punkt von } M\}

und nennt diese (größte) offene Teilmenge von M den offenen Kern von M Es gilt M = \underline{M}  genau dann, wenn M selbst eine  'offene Menge' (bzgl. des Grundraumes \R^n) darstellt, d.h. wenn \R^n\setminus M abgeschlossen ist. Da jeder Vektor aus \R^2 umkehrbar-eindeutig durch eine komplexe Zahl ausgetauscht werden kann, übertragen sich die Begriffe insbesondere auch auf M\subseteq\C .

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Orthogonalität

Es sein V ein Vektorraum mit Skalarbereich \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und g:V\times V \to\mathbb{K} eine in jeder der beiden Inputvariablen mindestens reell-lineare Funktion. Dann nennt man einen Vektor v\in V  orthogonal zu w\in V (bzgl. g) genau dann, wenn g(w,v) = 0 gilt.

Bemerkungen:

  • Wird etwa durch linear-unabhängige Vektoren b_1,\ldots ,b_n\in V via U := \tn{span}(b_1,\ldots ,b_n) ein Untervektorraum von V mit Basis {\cal B} := (b_1,\ldots ,b_n) beschrieben zu dem die Gram'sche Matrix G({\cal B}) = \left(g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} mit g_{k,l}({\cal B}) := g(b_k,b_l) umkehrbar (bzw. regulär) als auch die konjugiert-komplexe Umkehrmatrix \overline{G^{-1}({\cal B})} =: \widetilde G({\cal B}) =\left(\widetilde g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} gegeben ist und gilt zudem für \alpha,\beta\in \mathbb{K} die Regel  g(\alpha\cdot u_1,\beta\cdot u_2) = \overline \alpha\cdot \beta\cdot g(u_1,u_2) für alle u_1,u_2\in U, so läßt sich mit Hilfe der zur Basis {\cal B} assoziierten Vektoren \widetilde b_k :=\sum\limits_{l=1}^n\widetilde g_{k,l}({\cal B})\cdot b_l\in U jeder Vektor v\in V durch die lineare orthogonale Projektion {\cal P}_U: V\to U auf U in einen eindeutigen Anteil u:={\cal P}_U(v) := \sum\limits_{k=1}^n g(\widetilde b_k,v)\cdot b_k\in U sowie einen dazu orthogonalen Rest u^{\perp } := v-u zerlegen! Insbesondere ergibt sich speziell {\cal P}_U(v) = v falls v\in U ist und damit die k-te Koordinate zu v\in U bzgl. der vorgegebenen Basis durch \underline {\widetilde b}_k(v):=g(\widetilde b_k,v). Man nennt die Koordinatenbestimmungsfunktionen \underline {\widetilde b}_1,\ldots, \underline {\widetilde b}_n auch 'duale Basisvektoren', während man \widetilde {\cal B} := ({\widetilde b}_1,\ldots, {\widetilde b}_n) als die zu {\cal B} 'reziproke Basis' von U bezeichnet. Oft werden anstelle der \widetilde { } Notation 'obere Indizes' sowie die Einstein'sche Summationskonvention verwendet.
  • Ist g sogar ein reelles Skalarprodukt, so entspricht die Orthogonalität zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren der Aussage, dass sie bzgl. der durch das Skalarprodukt eingeführten Winkelmessung einen Winkel von \frac {\pi }2=90° zueinander aufweisen! Eine derartige Winkelmessung ist jedoch bei einem komplexen Skalarprodukt nicht mehr möglich.
  • Bei Verwendung des euklidischen Skalarproduktes beschreibt die euklidische Winkelmessung den 'anschaulich-intuitiven' Winkelbegriff. 

 

 

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P

Parallelotop

Es sei n,m\in\N mit n \le m sowie \vec a_1,\ldots ,\vec a_n, \vec x_0\in {\cal R}^m. Dann heißt die Punktmenge

{\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) := \left.\left\{\vec x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot \vec a_k\, \right |\, \alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in [0|1]\right\}

das von den Vektoren  \vec a_1,\ldots ,\vec a_n aufgespannte Paralleotop im {\cal R}^m mit Basispunkt \vec x_0. Die maximale Anzahl linear-unabhängiger Vektoren unter den aufspannenden Vektoren wird auch die Dimension des Paralleotops genannt.

Bemerkungen:

  • Im Falle n := 2\le m spricht man auch von einem Paralleogramm im {\cal R}^m. Sind zusätzlich die aufspannenden Vektoren \vec a_1,\vec a_2\in {\cal R}^m orthogonal bzgl. des euklidischen Skalarproduktes im {\cal R}^m, so spricht man von einem Rechteck - bzw. noch spezieller von einem Quadrat, falls auch noch |\vec a_1| = |\vec a_2| gilt.
  • Im Falle n := 3\le m spricht man auch von einem Spat, Parallelepiped oder Parallelflach im {\cal R}^m. Sind zusätzlich die aufspannenden Vektoren \vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\in {\cal R}^m paarweise orthogonal bzgl. des euklidischen Skalarproduktes im {\cal R}^m, so spricht man von einem Quader - bzw. noch spezieller von einem Würfel, falls auch noch |\vec a_1| = |\vec a_2| = |\vec a_3| gilt.
  • Betrachtet man mit A := (\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) die affin-lineare Vektorraumabbildung \vec f : {\cal R}^n \to {\cal R}^m definiert durch
                                    \vec f (\vec \alpha ) := \vec x_0 + A\cdot \vec \alpha\qquad (\vec \alpha\in {\cal R}^n)
    so beschreibt das Paralleotop {\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) gerade das Abbild des n-dimensionalen Einheitswürfels [0|1]^n = {\cal P}_{n,\vec 0}(\vec e_1,\ldots ,\vec e_n) durch die Funktion \vec f.
  • Einem n-dimensionalen Paralellotop im {\cal R}^m kann auf Grundlage des euklidischen Skalarproduktes ein n-dimensionaler Inhalt durch
                                   Vol_n({\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n)) := \sqrt {\tn{det}(G(A))} = \sqrt {\tn{det}(A^{tr}\cdot A)}
    wobei G(A) die Gram'sche Matrix zu A := (\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) bzgl. des euklidischen Skalarproduktes bezeichnet, zugeordnet werden! Für das euklidische Skalarprodukt gilt konkret G(A) = A^{tr}\cdot A - man beachte, das A eine m \times n Matrix aus n linear-unabhängigen Spaltenvektoren des {\cal R}^m beschreibt und die n \times n Matrix G(A) dann stets eine wohldefinierte positive Determinante besitzt! Die Definition erweitert sich in natürlicher Weise auch für linear-abhängige aufspannende Vektoren, wobei der n-dimensionale Inhalt dann den Wert Null annimmt.
  • Im Spezialfall n=m vereinfacht sich die Inhaltsberechnung eines n-dimensionalen Paralellotops im {\cal R}^n aufgrund des Determinanten-Multiplikationssatzes zweier n\times n Matrizen weiter zu:
                                   Vol_n({\cal P}_{n,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n)) = |\tn{det}(A)|
Entry link: Parallelotop


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