Schlagwortkatalog


Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

Browse the glossary using this index

Special | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | ALL

Page: (Previous)   1  2  3  4  5  6  (Next)
  ALL

S

Satz von Darboux

Es sei D\subseteq\R offen in \R sowie f:D\to\R eine Funktion zu der eine reell-differenzierbare Stammfunktion existiert (d.h. es gibt F:D\to\R mit F^{\prime\, } = f). Des weiteren sei I \subseteq D ein bel. Intervall. Dann bildet das Abbild f(I) ebenfalls ein Intervall, d.h. zu je zwei Funktionswerten aus f(I) bzw. F^{\prime }(I) treten auch alle Werte dazwischen als Funktionswerte aus f(I) auf! (Zwischenwerteigenschaft

Bemerkungen:

Entry link: Satz von Darboux

Sinuscardinalisfunktion

Zu jeder Vorgabe \alpha \in\C\setminus\{0\} heißt die dazu gebildete Funktion \tn{sinc}_{\alpha }:\C \to\C definiert durch

 

\tn{sinc}_{\alpha }(z) := \left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin (\alpha\cdot z)}{\alpha\cdot z} & \tn{ falls } z\ne 0\\[10pt] 1 & \tn{ falls }z=0\end{array}\right.\qquad\qquad

 

für z\in\C eine komplexe Sinuscardinalisfunktion. Je nach dem Anwendungsumfeld wird eine dort übliche Vorgabe für \alpha stillschweigend unterstellt und nicht mehr explizit notiert!

 

Bemerkungen:

  • Im Falle \alpha = 1 wird im deutschsprachigen Umfeld auch \tn{si} := \tn{sinc}_{1} verwendet, während andernsorts dafür eher \tn{sinc} verbreitet ist.
  • Speziell in der Signaltheorie tritt die Sinuscardinalisfunktion oft mit \alpha = \pi auf, so dass in unterstützenden Softwareapplikationen (wie etwa MATLAB) \tn{sinc} := \tn{sinc}_{\pi } üblich ist. Sie stellt dabei die Fouriertransformierte des normierten Rechteckimpulssignales \tn{rect} dar und besitzt die Nullstellenmenge \Z\setminus\{0\} .
Entry link: Sinuscardinalisfunktion

Sprungfunktion

Die sogenannte Heavisidesche Sprungfunktion \sigma :\R \to \{0,\frac 12, 1\} wird für t\in\R definiert durch

\sigma (t) := \left\{\begin{array}{ll} 0 & \tn{ falls } t <0 \\ \frac 12 & \tn{ falls } t=0 \\ 1 & \tn{ falls } t>0\end{array}\right.

und bildet eine normierte Grundform zur Beschreibung verschiedenster Sprungvarianten, wie etwa der Signumfunktion \tn{sign}:\R \to \{-1,0,1\} , welche durch

\tn{sign} (t) := 2\cdot \sigma (t) -1 \qquad (t\in\R )

 das Vorzeichen einer reellen Zahl t charakterisiert! Der Nullpunkt stellt die einzige Sprungstelle der Funktion dar. Des weiteren ergibt sich die Definition der normierten Rechteckimpulsfunktion \tn{rect}:\R\to\{0,\frac 12, 1\} damit ebenfalls zu:

\tn{rect}(t) :=\sigma\left(t+\frac 12\right) - \sigma\left(t-\frac 12\right)\qquad (t\in\R )

Entry link: Sprungfunktion

Sprungstelle

Man sagt, das eine Funktion f:D\to\C in einem Punkt t\in D\subseteq \R eine (nicht hebbare) Sprungstelle besitzt genau dann, wenn f in t sowohl einen links- als auch rechtsseitigen Grenzwert besitzt und diese nicht übereinstimmen, d.h. also eine absolute natürliche Sprunghöhe

|f(t+) - f(t-)| > 0

vorliegt! Gilt hingegen f(t+) = f(t-) \ne f(t) so liegt lediglich eine (stetig-hebbare) Sprungstelle vor, da durch eine geeignete Abänderung des Funktionswertes f(t) eine in t stetige Funktion erhalten werden kann.

Bemerkungen:

  • Somit liegt in jeder Sprungstelle also auch stets eine Unstetigkeitsstelle vor!
  • Verläuft der tatsächliche Funktionswert f(t) durch den arithmetischen Mittelwert von f(t+) und f(t-) so spricht man von der sogenannten Mittelwerteigenschaft der Funktion in dem betrachteten Punkt.
  • Während also stetige Funktionen keine Sprungstellen besitzen können, so gibt es durchaus Funktionen ohne Sprungstellen die dennoch unstetig sind! Als Beispiel hierzu mag f(t) := \sin \left(\frac 1t\right)\quad (t\in\R\setminus\{0\}) und f(0) := 0 dienen. (Vgl. hierzu etwa auch den Satz von Darboux)
Entry link: Sprungstelle

Stammfunktion

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\}, D\subseteq\C sowie G\subseteq\mathbb{K} eine in \mathbb{K} offene Menge und G\subseteq \widetilde D\subseteq\mathbb{K}. Dann heißt F:\widetilde D\to\C eine Stammfunktion zu f:D\to\C , falls F_{|G} zumindest \mathbb{K}-differenzierbar ist, sowie


D\subseteq G\quad\mbox{ und }\quad F^{\,\prime }(z) = f(z) \qquad \mbox{f\"ur alle } z\in D


gilt! Ist \mathbb{K}=\R so spricht man auch von einer 'Stammfunktion im Reellen', während man im Fall \mathbb{K}=\C von einer 'Stammfunktion im Komplexen' redet!

Bemerkungen:

Entry link: Stammfunktion

Standarddarstellung einer physikalischen Größe

Man spricht von einer 'Standarddarstellung einer physikalischen Größe' genau dann, wenn eine Dezimaldarstellung mit möglichst kleiner Anzahl von Ziffern ungleich Null vor dem Komma, gefolgt von einer physikalischen SI-Einheit in geeigneter Präfixnotation vorliegt. Unter SI-Präfixen für physikalische Einheiten versteht man dabei Kurzbezeichnungen die einer kohärenten SI-Einheit vorweggestellt werden können, wie z.B.:

G:=10^{9}, \quad M:=10^{6}, \quad k := 10^{3},\quad h:=10^2 \\ \qquad m := 10^{-3}, \quad \mu := 10^{-6}, \quad n := 10^{-9}, \quad p := 10^{-12}

Beispiele:

Unter den möglichen Darstellungen

0,0041234\ A = 4,1234\ mA = 4123,4\ \mu A

stellt jedoch nur 4,1234\ mA die Standarddarstellung dar! 

 

Entry link: Standarddarstellung einer physikalischen Größe

Stetigkeit

Es sei z_0\in D\subseteq\C sowie f:D\to\C . Dann heißt f stetig im Punkt z_0 genau dann, falls für jede Zahlenfolge (a_n)_{n\in\N } aus D, welche mit Grenzwert z_0 konvergiert auch \lim\limits_{n\to\infty } f(a_n) = f(z_0) folgt! Ist f in allen Punkten aus D stetig, so nennt man auch die gesamte Funktion stetig.

Bemerkung:

Entry link: Stetigkeit

Substitutionsregel

Falls f: I\to\C stetig und \varphi : I_1 \to I reell-differenzierbar sowie \varphi^{\,\prime } zumindest Riemann-integrierbar ist mit I_1, I\subseteq\R offene Intervalle, so gilt für a,b\in I_1 :

\int\limits_a^b f(\underbrace{\varphi (t)}_{=:\tau })\cdot\underbrace{\varphi^{\prime }(t)\ dt}_{= d\tau } = \int\limits_{\varphi (a)}^{\varphi (b)} f(\tau )\ d\tau

Bemerkung:

Entry link: Substitutionsregel

Surjektivität

Eine Funktion f:A\to B heißt surjektiv (oder auch eine Surjektion), genau dann wenn es zu jeder Vorgabe b\in B mindestens eine Lösung a\in A der Gleichung f(a)=b gibt.

Entry link: Surjektivität

T

Tangentenfunktion

Die Tangentenfunktion T_{x_0} zu einer im inneren Punkt x_0\in D_0\subseteq\R reell-differenzierbaren Funktion f:D_0\to \R ist definiert durch T_{x_0}(x) := f(x_0) + df_{x_0}(x-x_0) für x\in\R , wobei die Funktion df_{x_0} das Differential beschreibt!

 

Entry link: Tangentenfunktion


Page: (Previous)   1  2  3  4  5  6  (Next)
  ALL