Schlagwortkatalog

Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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T

Taylorpolynom

Zu $\mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ und einer $m$ -mal $\mathbb{K}$ -differenzierbaren Funktion $f: D \to \C$ auf einem in $\mathbb{K}$ offenen Definitionsbereich $D\subseteq \mathbb{K}$ wird zu einem sogenannten Entwicklungspunkt $z_0\in D$ und $n\le m$ ein Näherungspolynom (das sogenannte Taylorpolynom zu $f$ im Entwicklungspunkt $z_0$ der Ordnung $n$ ) durch

$p_{f,n,z_0}(z) := \sum\limits_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}\cdot (z-z_0)^k \qquad (z\in \C )$

bereitgestellt. Zur Abschätzung der Restfehlerfunktion (auch kurz Restglied genannt)

$R_{f,n,z_0}(z) := f(z)-p_{f,n,z_0}(z) \quad (z\in D)$

kann für $n<m$ und $z_0+t\cdot (z-z_0)\in D$ für alle $t\in [0|1]$ die allgemeine Integraldarstellung

$R_{f,n,z_0}(z) = \frac {(z-z_0)^{n+1}}{n!} \int\limits_0^1 (1-t)^n\cdot f^{(n+1)}(z_0+t\cdot (z-z_0))\,dt$

verwendet werden. Ist darüber hinaus $f$ auf $B(z_0,R) \subseteq D\subseteq \C = \mathbb{K}$ mit $R\in (0|\infty )$ sogar komplex-differenzierbar, so ist $f$ sogar bel. oft komplex-differenzierbar und es gilt:

$\lim\limits_{n\to \infty } R_{f,n,z_0}(z) = 0 \quad (\text{ f\"ur }|z-z_0|<R)$

bzw.

$f(z) = \lim\limits_{n\to \infty } p_{f,n,z_0}(z) =: \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}\cdot (z-z_0)^k \quad (\text{ f\"ur } |z-z_0|<R)$

(Taylorreihendarstellunng von $f$ im Entwicklungspunkt $z_0$ )

Teilfolge

Eine Folge $(d_n)_{n\in\N }$ heißt eine Teilfolge einer Folge $(a_n)_{n\in\N }$ genau dann, wenn es eine streng-monoton-steigende Folge $(\mu_n)_{n\in\N }$ natürlicher Zahlen gibt, so dass $d_n = a_{\mu_n}$ für alle $n\in\N$ gilt!

Bemerkung: So ist etwa mit $\mu_n := n+1$ die durch $d_n := a_{n+1}$ für $n\in\N$ festgelegte Folge $(d_n)_{n\in\N }$ bereits eine Teilfolge von $(a_n)_{n\in\N }$ .

V

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (engl.: cross product) zweier Vektoren $\vec v,\vec w\in {\cal R}^3$ legt (wie der Name schon sagt) einen weiteren Vektor des ${\cal R}^3$ fest, welcher jeweils zu $\vec v$ als auch zu $\vec w$ einen euklidischen Winkel von $\frac {\pi }2=90$ ° und als euklidische Länge den Flächeninhalt des von $\vec v$ und $\vec w$ aufgespannten Parallelogramms aufweist. Die Definition lautet:

$\vec v \times \vec w := \sum\limits_{k=1}^3 \tn{det}(\vec v,\vec w,\vec e_k)\cdot\vec e_k= \left(\begin{array}{c}v_2w_3-v_3w_2\\ v_3w_1 - v_1w_3\\ v_1w_2 -v_2w_1\end{array}\right)\qquad (\tn{f\"ur }\vec v,\vec w\in {\cal R}^3)$

Unter Verwendung der euklidischen Längen- und Winkelmessung (vgl. euklidisches Skalarprodukt) gilt für $\vec a,\vec b,\vec c\in {\cal R}^3$ :

$|\vec a\times \vec b| = |\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \sin (\angle (\vec a,\vec b))$
$\vec a\bullet (\vec b\times \vec c) = \tn{det}(\vec a,\vec b,\vec c)$ (Spatprodukt)

Bemerkung: Für $n\in\N$ mit $n\ge 2$ und $\vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1}\in {\cal R}^n$ kann in analoger Weise durch

$\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1}) :=\sum\limits_{k=1}^n\tn{det}(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1},\vec e_k)\cdot \vec e_k\in {\cal R}^n$

stets ein kanonischer Normalenvektor bereitgestellt werden, der bzgl. des euklidischen Skalarproduktes orthogonal zu allen vorgegebenen Vektoren $\vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1}$ als auch zu allen Vektoren aus dem $(n-1)$ -dimensionalen Untervektorrraum $U := \tn{span}\{\vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1}\}$ steht und mit dem zusätzlich stets $\tn{det}(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1},\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1}))\ge 0$ gilt - man spricht dann von der 'positiven Orientiertheit' des geordneten Systems der Vektoren $(\vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1},\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1}))$ .

Versor

Die $2\pi$ -periodische, surjektive Funktion $\tn{cis}:\R \to K(0,1)$ ordnet jeder reellen Zahl $\varphi\in\R$ durch $\tn{cis}(\varphi ):=e^{j\varphi }$ einen Punkt auf der Einheitskreislinie zu. Man spricht in der Elektrotechnik auch von der Versorfunktion und schreibt $\angle \varphi := \tn{cis}(\varphi )$ . Die Bezeichnung $\tn{cis}$ soll an die alternative Darstellung durch die Euler'sche Identität $\tn{cis}(\varphi ) = e^{j\varphi } = \cos (\varphi ) + j\cdot \sin (\varphi )$ erinnern!

Bemerkung:

Durch $\varphi\in [0|2\pi )$ wird dabei die Länge des Kreisbogenweges mit Radius eins beschrieben, welcher sich ausgehend vom Punkt $\tn{cis}(0) = 1$ entgegen dem Uhrzeigersinn entlang der Einheitskreislinie bis zum Punkt $\tn{cis}(\varphi )$ erstreckt.
Da $\tn{cis}_{|(-\pi | \pi]}$ injektiv ist, kann jedem Punkt $w\in K(0,1)$ der Einheitskreislinie durch die Umkehrfunktion ein eindeutiger Standardpolarwinkel im Bereich $(-\pi | \pi]$ zugeordnet werden. Dies führt schließlich zur Einführung der Argumentfunktion zur Bestimmung einer standardisierten Polardarstellung einer komplexen Zahl $z\in\C\setminus\{0\}$ .

Z

Zahlkörper

Ein Zahlkörper oder Skalarbereich beschreibt eine Menge $\mathbb{K}$ von Objekten (Zahlen bzw. Skalare genannt) zusammen mit zwei Verknüpfungsvorschriften (Addition und Multiplikation) so, dass bestimmte Rechenregeln garantiert sind! Vgl. hierzu das Begleitblatt 'Zahlen und Grundrechenarten'.

Beispiele für Zahlkörper sind etwa die Menge der komplexen Zahlen $\C$ , die darin enthaltene Menge der reellen Zahlen $\R$ , die wiederum darin enthaltene Menge $\Q$ der rationalen Zahlen oder auch $\mathbb{B} := \{0,1\}$ die Menge der boolschen Zahlen.

Zwischenwertsatz

Es sei $D\subseteq \R$ sowie $f:D \to \R$ stetig und $I \subseteq D$ ein bel. Intervall. Dann ist das Abbild $f(I)$ ebenfalls ein Intervall in $\R$ , d.h. zu je zwei Funktionswerten aus $f(I)$ treten auch alle Werte dazwischen wieder als Funktionswerte in $f(I)$ auf! (Zwischenwerteigenschaft)

Bemerkungen:

Insbesondere impliziert die Zwischenwerteigenschaft einer Funktion, dass sie keine Sprungstellen besitzen kann, was für stetige Funktionen bereits hinlänglich bekannt ist.
Eine analoge Aussage stellt der sogenannte 'Satz von Darboux' auch für nicht-stetige reellwertige Funktionen auf einem Intervall bereit, welche dann jedoch ersatzweise eine reell-differenzierbare Stammfunktion besitzen müssen!

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