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Mathematische Begriffe und Definitionen

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DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Laplace Transformation

Die Laplace-Transformation $\cal L$ ist eine lineare Funktion, welche es gestattet, jedes sogenannte 'zulässige' Signal $u:\R \to \C$ in eine Ersatzfunktion $\underline{U} := {\cal L}(u): H_u \to \C$ zu überführen, welche nun jedoch auf einer offenen komplexen Halbebene $H_u := \{s\in\C | \tn{Re} (s) > \gamma_u\}$ (mit einem von $u$ festgelegten kleinsten Wert $\gamma_u \in \R$ ) durch eine Integralvorschrift definiert ist. Da diese Transformation unter geeigneten Zusatzbedingungen wieder rückgängig gemacht werden kann, wird durch die Ersatzfunktion eine zunächst 'interpretationsfreie' aber 'gleichwertige' Beschreibung des Signales angeboten!

Die Transformation erlangt ihre wichtige praktische Bedeutung bei der Anwendung auf stetig-(reell)-differenzierbare Funktionen $u:\R \to \C$ , welche zusammen mit ihren Ableitungsfunktionen durch eine Produktbildung mit der Heavisideschen Sprungfunktion $\sigma$ zulässige Signale bilden. Es gilt dann für $s\in H_{\sigma }\cap H_{\sigma\cdot u^{\prime }} \subseteq H_{\sigma\cdot u}$ :

${\cal L}(\sigma\cdot u^{\prime })(s) = s\cdot {\cal L}(\sigma\cdot u)(s) - u(0)$

(Transformation von Ableitungsfunktionen)

Die Laplace-Transformation ist daher zur einfachen Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten wie sie etwa bei der Beschreibung linearer Systeme in der Regelungstechnik auftreten prädestiniert!

DIFFERENTIATION

Ableitung

Eine in einem inneren Punkt $z_0\in D_0 \subseteq \mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ (bzgl. des Grundraumes $\mathbb{K}$ ) $\mathbb{K}$ -differenzierbare Funktion $f:D_0 \to \C$ besitzt im Punkte $z_0$ die sogenannte Ableitung $f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) \in \mathbb{K}$ . Gemäß der Definition der Differenzierbarkeit ergibt sich die Ableitung auch direkt durch die Grenzwertbildung:

$f^{\prime }(z_0) = \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac {f(z_0+h) - f(z_0)}{h}\right)$

Betrachtet man die Menge $D \subseteq D_0$ aller Punkte in denen $f\$ $\mathbb{K}$ -differenzierbar ist, so bildet $D$ eine 'offene' Teilmenge von $D_0$ auf der dann die Ableitungsfunktion $f^{\prime }:D \to \C$ definiert ist! Man nennt die Funktion $f$ auch eine Stammfunktion zu $f^{\prime }$ . (vgl. auch 'Ableitungstabelle')

Bemerkung:

Die Stetigkeit einer Funktion stellt bereits ein hinreichendes Kriterium zur Existenz von Stammfunktionen bereit wie der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung belegt!
Ableitungsfunktionen müssen jedoch im allgemeinen weder stetig, noch beschränkt oder auch nur Riemann- oder Lebesgue-integrierbar sein wie etwa die Ableitungsfunktion der reell-differenzierbaren Funktion $f:\R\to\R$ definiert durch $f(x) := x^2\cdot \sin \left(\frac 1{x^2}\right)\quad (x\in\R\setminus\{0\})$ und $f(0) := 0$ zeigt!
Unstetige Ableitungsfunktionen besitzen bemerkenswerterweise jedoch auch niemals Sprungstellen! (Vgl. Satz von Darboux)

differenzierbar

Es sei $\mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ und $z_0\in D\subseteq \mathbb{K}$ ein innerer Punkt von $D$ (bzgl. des Grundraumes $\mathbb{K}$ ), dann heißt die Funktion $f:D\to\C$ kurz $\mathbb{K}$ -differenzierbar (oder auch reell-differenzierbar wenn $\mathbb{K}=\R$ , bzw. komplex-differenzierbar wenn $\mathbb{K}=\C$ ist) im Punkt $z_0$ , falls es eine $\mathbb{K}$ -lineare Funktion $df_{z_0}:\mathbb{K} \to\C$ gibt, welche die im (allg. nicht-lineare) Änderung $\Delta f_{z_0}(h) := f(z_0+h) - f(z_0)$ zur Schrittweite $h\in \mathbb{K}\setminus\{0\}, z_0+h\in D$ wie folgt annähert:

$\lim\limits_{h\to 0} \left(\frac {|\Delta f_{z_0}(h) - df_{z_0}(h)|}{|h|}\right) = 0$

Die $\mathbb{K}$ -lineare Funktion $df_{z_0}$ heißt das Differential von $f$ im Punkt $z_0$ , während die spezielle Zahl $f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1)$ die Ableitung von $f$ im Punkt $z_0$ genannt wird. Da das Differential eine ' $\mathbb{K}$ -lineare' Funktion ist ergibt sich dessen konkrete Gestalt zu:

$df_{z_0}(h) = df_{z_0}(1)\cdot h = f^{\prime }(z_0) \cdot h \qquad (h\in \mathbb{K})$

Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Es sei $f:I\to \C$ stetig auf einem offenen Intervall $I\subseteq\R$ . Dann gilt für jede Funktion $F: I \to\C$ :

$\begin{array}{c}\left(F\tn{ ist reell-differenzierbar mit } F^{\prime } = f \right) \\ \Leftrightarrow \\ \left(F(b) - F(a) = \int\limits_{a}^b f(t)\ dt \tn{ f\"ur alle }a,b\in I\right)\end{array}$

Bemerkung:

Während die obige Äquivalenz die Stetigkeit des Integranden benötigt, genügt bereits die Integrierbarkeit von $F^{\prime }$ um eine Berechnung des Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion zu ermöglichen. Man spricht dann auch kurz vom Hauptsatz der Differential- und Integralrechung (vgl. Hauptsatz der Riemann-Integralrechnung, Hauptsatz der Lebesgue-Integralrechnung).
Das die Stetigkeit des Integranden wichtig ist, zeigt etwa $F(x) := \int\limits_0 ^x \tn{sign}(t)\,dt =|x|\quad (x\in\R )$ . Da die unstetige Signumfunktion noch auf jedem kompakten Intervall Riemann-integrierbar ist, ist $F$ zwar wohldefiniert und auch stetig, jedoch nicht (reell-)differenzierbar im Nullpunkt.Die Signumfunktion besitzt also auch keine Stammfunktion auf ganz $\R$ !

Entry link: Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Funktionen mit stückweisen Eigenschaften

Es sei $\emptyset \ne {\cal G} \subseteq \{g:D\to\C | D\subseteq \R \tn{ offen } \}$ eine Menge von Funktionen mit einer vorgegebenen Eigenschaft und $\emptyset\ne I\subseteq\R$ ein Intervall mit linkem Randpunkt $a$ und rechtem Randpunkt $b$ . Man sagt dann, dass eine Funktion $f:I\to\C$ stückweise aus ${\cal G}$ ist genau dann, wenn es eine Zerlegung $a=t_0 < t_1 < \cdots < t_m=b$ in $m\in\N$ Teilintervalle $I_k := (t_{k-1} | t_k)$ gibt, so dass für jedes $k\in\{1,\ldots ,m\}$ eine Funktion $g_k\in {\cal G}$ existiert deren offener Definitonsbereich den Abschluss von $I_k$ umfasst (d.h. $\overline I_k\subseteq \tn{dom} (g_k)$ gilt) und $f(t) = g_k(t)$ für alle $t\in I_k$ gilt. An den Teilintervallgrenzen gibt es bewusst keine Forderungen an $f$ !

Bemerkungen:

Ist ${\cal G}$ etwa die Menge aller stetigen komplex-wertigen Funktionen mit in $\R$ offenen Definitionsbereichen, so spricht man bei $f$ von einer stückweise stetigen Funktion! D.h. es darf endlich viele Unstetigkeitsstellen geben, in denen jedoch noch links- bzw. rechtseitige Grenzübergange exitieren.
Ist ${\cal G}$ die Menge aller $n$ -mal stetig-(reell)-differenzierbaren komplex-wertigen Funktionen (mit in $\R$ offenen Definitionsbereichen und $n\in\N$ ), so spricht man von einer stückweise $n$ -mal stetig-(reell)-differenzierbaren Funktion! Somit ist $f$ auf allen offenen Teilintervallen $n$ -mal stetig-(reell)-differenzierbar und es existieren für alle Ableitungen die links- bzw. rechtsseiten Grenzübergänge zu den Teilintervallgrenzen.
Warnung: Aus der Rechteckschwingung $f(t) := \tn{sign}(\sin(t))\ (t\in (-\infty |\infty ) )$ entsteht jedoch nur nach Einschränkung auf ein beliebiges beschränktes Intervall $I$ eine stückweise stetige Funktion $f_{|_I}$ . Die nicht eingeschränkte Gesamtfunktion $f$ ist hingegen nicht stückweise stetig, da sie 'unendlich' viele Sprungstellen besitzt!

Entry link: Funktionen mit stückweisen Eigenschaften

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Es sei eine stetige Funktion $f: I \to \R$ auf einem Intervall $I\subseteq \R$ sowie zwei Punkte $a,b\in I$ mit $a < b$ gegeben so, dass $f_{| (a|b)}$ reell-differenzierbar ist. Dann gibt es eine Stelle $\zeta\in (a|b)$ mit

$f^{\prime }(\zeta ) = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}$

Im Spezialfall $f(a)=f(b)$ spircht man auch von Satz von Rolle.

Bemerkung:

Dieser Satz läßt sich nicht auf 'komplexwertige' reell-differenzierbare Funktionen erweitern wie bereits die Funktion $\tn{cis}:\R \to \C$ zeigt, da wegen $\tn{cis} (x) := \exp (j\cdot x)$ für $x\in\R$ stets $\tn{cis} ^{\,\prime }(x) = j\cdot \exp (j\cdot x)\ne 0$ gilt, aber dennoch für $a = 0$ und $b=2\pi$ der obige Differenzenquotient gleich Null wird!

Entry link: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Satz von Darboux

Es sei $D\subseteq\R$ offen in $\R$ sowie $f:D\to\R$ eine Funktion zu der eine reell-differenzierbare Stammfunktion existiert (d.h. es gibt $F:D\to\R$ mit $F^{\prime\, } = f$ ). Des weiteren sei $I \subseteq D$ ein bel. Intervall. Dann bildet das Abbild $f(I)$ ebenfalls ein Intervall, d.h. zu je zwei Funktionswerten aus $f(I)$ bzw. $F^{\prime }(I)$ treten auch alle Werte dazwischen als Funktionswerte aus $f(I)$ auf! (Zwischenwerteigenschaft)

Bemerkungen:

Da stetige Funktionen nach dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung stets eine Stammfunktion besitzen, verallgemeinert obiger Satz somit den 'Zwischenwertsatz für stetige Funktionen' auf Funktionen mit schächeren Voraussetzungen.
Aufgrund der Zwischenwerteigenschaft sind auch keine Sprungstellen für $f=F^{\prime\, }$ möglich! Dennoch kann eine Ableitungsfunktion $F^{\prime }$ im allgemeinen durchaus noch unstetig sein, wie etwa die reell-differenzierbare Funktion $F:\R\to\R$ definiert durch $F(x) := x^2\cdot\sin \left(\frac 1{x^2}\right)\quad (x\in\R\setminus\{0\})$ und $F(0):=0$ zeigt!

Stammfunktion

Es sei $\mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ , $D\subseteq\C$ sowie $G\subseteq\mathbb{K}$ eine in $\mathbb{K}$ offene Menge und $G\subseteq \widetilde D\subseteq\mathbb{K}$ . Dann heißt $F:\widetilde D\to\C$ eine Stammfunktion zu $f:D\to\C$ , falls $F_{|G}$ zumindest $\mathbb{K}$ -differenzierbar ist, sowie

$D\subseteq G\quad\mbox{ und }\quad F^{\,\prime }(z) = f(z) \qquad \mbox{f\"ur alle } z\in D$

gilt! Ist $\mathbb{K}=\R$ so spricht man auch von einer 'Stammfunktion im Reellen', während man im Fall $\mathbb{K}=\C$ von einer 'Stammfunktion im Komplexen' redet!

Bemerkungen:

Insofern es überhaupt eine Stammfunktion gibt, existieren sogar stets unendlich viele Stammfunktionen welche etwa bereits durch Addition von beliebigen komplexwertigen Konstanten entstehen!
Ist zudem $D\subseteq\R$ ein in $\R$ offenes Intervall, so können sich umgekehrt (nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung) je zwei Stammfunktionen auf $D$ lediglich um eine additive komplexwertige Konstante unterscheiden!
Ist $D\subseteq\R$ ein in $\R$ offenes Intervall und $f:D\to\C$ stetig, so garantiert der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, dass $f$ auch mindestens eine Stammfunktion besitzt!

Tangentenfunktion

Die Tangentenfunktion $T_{x_0}$ zu einer im inneren Punkt $x_0\in D_0\subseteq\R$ reell-differenzierbaren Funktion $f:D_0\to \R$ ist definiert durch $T_{x_0}(x) := f(x_0) + df_{x_0}(x-x_0)$ für $x\in\R$ , wobei die Funktion $df_{x_0}$ das Differential beschreibt!

Taylorpolynom

Zu $\mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ und einer $m$ -mal $\mathbb{K}$ -differenzierbaren Funktion $f: D \to \C$ auf einem in $\mathbb{K}$ offenen Definitionsbereich $D\subseteq \mathbb{K}$ wird zu einem sogenannten Entwicklungspunkt $z_0\in D$ und $n\le m$ ein Näherungspolynom (das sogenannte Taylorpolynom zu $f$ im Entwicklungspunkt $z_0$ der Ordnung $n$ ) durch

$p_{f,n,z_0}(z) := \sum\limits_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}\cdot (z-z_0)^k \qquad (z\in \C )$

bereitgestellt. Zur Abschätzung der Restfehlerfunktion (auch kurz Restglied genannt)

$R_{f,n,z_0}(z) := f(z)-p_{f,n,z_0}(z) \quad (z\in D)$

kann für $n<m$ und $z_0+t\cdot (z-z_0)\in D$ für alle $t\in [0|1]$ die allgemeine Integraldarstellung

$R_{f,n,z_0}(z) = \frac {(z-z_0)^{n+1}}{n!} \int\limits_0^1 (1-t)^n\cdot f^{(n+1)}(z_0+t\cdot (z-z_0))\,dt$

verwendet werden. Ist darüber hinaus $f$ auf $B(z_0,R) \subseteq D\subseteq \C = \mathbb{K}$ mit $R\in (0|\infty )$ sogar komplex-differenzierbar, so ist $f$ sogar bel. oft komplex-differenzierbar und es gilt:

$\lim\limits_{n\to \infty } R_{f,n,z_0}(z) = 0 \quad (\text{ f\"ur }|z-z_0|<R)$

bzw.

$f(z) = \lim\limits_{n\to \infty } p_{f,n,z_0}(z) =: \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}\cdot (z-z_0)^k \quad (\text{ f\"ur } |z-z_0|<R)$

(Taylorreihendarstellunng von $f$ im Entwicklungspunkt $z_0$ )

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