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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Laplace Transformation

Die Laplace-Transformation \cal L ist eine lineare Funktion, welche es gestattet, jedes sogenannte  'zulässige' Signal u:\R \to \C in eine Ersatzfunktion \underline{U} := {\cal L}(u): H_u \to \C zu überführen, welche nun jedoch auf einer offenen komplexen Halbebene H_u := \{s\in\C | \tn{Re} (s) > \gamma_u\} (mit einem von u festgelegten kleinsten Wert \gamma_u \in \R ) durch eine Integralvorschrift definiert ist. Da diese Transformation unter geeigneten Zusatzbedingungen wieder rückgängig gemacht werden kann, wird durch die Ersatzfunktion eine zunächst 'interpretationsfreie' aber 'gleichwertige' Beschreibung des Signales angeboten!

Die Transformation erlangt ihre wichtige praktische Bedeutung bei der Anwendung auf stetig-(reell)-differenzierbare Funktionen u:\R \to \C , welche zusammen mit ihren Ableitungsfunktionen durch eine Produktbildung mit der Heavisideschen Sprungfunktion \sigma   zulässige Signale bilden. Es gilt dann für s\in H_{\sigma }\cap H_{\sigma\cdot u^{\prime }} \subseteq H_{\sigma\cdot u}:

{\cal L}(\sigma\cdot u^{\prime })(s) = s\cdot {\cal L}(\sigma\cdot u)(s) - u(0)

(Transformation von Ableitungsfunktionen)

Die Laplace-Transformation ist daher zur einfachen Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten wie sie etwa bei der Beschreibung linearer Systeme in der Regelungstechnik auftreten prädestiniert!

Entry link: Laplace Transformation

DIFFERENTIATION

Ableitung

Eine in einem inneren Punkt z_0\in D_0 \subseteq \mathbb{K}\in\{\R,\C\} (bzgl. des Grundraumes \mathbb{K})   \mathbb{K}-differenzierbare Funktion f:D_0 \to \C besitzt im Punkte z_0 die sogenannte Ableitung f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) \in \mathbb{K}. Gemäß der Definition der Differenzierbarkeit ergibt sich die Ableitung auch direkt durch die Grenzwertbildung:

f^{\prime }(z_0) = \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac {f(z_0+h) - f(z_0)}{h}\right)

 

Betrachtet man die Menge D \subseteq D_0 aller Punkte in denen f\ \mathbb{K}-differenzierbar ist, so bildet D eine 'offene' Teilmenge von D_0 auf der dann die Ableitungsfunktion f^{\prime }:D \to \C definiert ist! Man nennt die Funktion f auch eine Stammfunktion zu f^{\prime }. (vgl. auch 'Ableitungstabelle')

Bemerkung:

Entry link: Ableitung

differenzierbar

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und z_0\in D\subseteq \mathbb{K} ein innerer Punkt von D (bzgl. des Grundraumes \mathbb{K}), dann heißt die Funktion f:D\to\C kurz \mathbb{K}-differenzierbar (oder auch reell-differenzierbar wenn \mathbb{K}=\R , bzw. komplex-differenzierbar wenn \mathbb{K}=\C ist) im Punkt z_0, falls es eine \mathbb{K}-lineare Funktion df_{z_0}:\mathbb{K} \to\C gibt, welche die im (allg. nicht-lineare) Änderung \Delta f_{z_0}(h) := f(z_0+h) - f(z_0) zur Schrittweite h\in \mathbb{K}\setminus\{0\}, z_0+h\in D wie folgt annähert:

\lim\limits_{h\to 0} \left(\frac {|\Delta f_{z_0}(h) - df_{z_0}(h)|}{|h|}\right) = 0

 

Die \mathbb{K}-lineare Funktion df_{z_0} heißt das Differential von f im Punkt z_0, während die spezielle Zahl f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) die Ableitung von f im Punkt z_0 genannt wird. Da das Differential eine '\mathbb{K}-lineare' Funktion ist ergibt sich dessen konkrete Gestalt zu:

df_{z_0}(h) = df_{z_0}(1)\cdot h = f^{\prime }(z_0) \cdot h \qquad (h\in \mathbb{K})

Entry link: differenzierbar

Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Es sei f:I\to \C stetig auf einem offenen Intervall I\subseteq\R . Dann gilt für jede Funktion F: I \to\C :

\begin{array}{c}\left(F\tn{ ist reell-differenzierbar mit } F^{\prime } = f \right) \\ \Leftrightarrow \\ \left(F(b) - F(a) = \int\limits_{a}^b f(t)\ dt \tn{ f\"ur alle }a,b\in I\right)\end{array}

 

Bemerkung:

 

Entry link: Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Funktionen mit stückweisen Eigenschaften

Es sei \emptyset \ne {\cal G} \subseteq \{g:D\to\C | D\subseteq \R \tn{ offen } \} eine Menge von Funktionen mit einer vorgegebenen Eigenschaft und \emptyset\ne I\subseteq\R ein Intervall mit linkem Randpunkt a und rechtem Randpunkt b. Man sagt dann, dass eine Funktion f:I\to\C stückweise aus {\cal G} ist genau dann, wenn es eine Zerlegung a=t_0 < t_1 < \cdots < t_m=b in m\in\N Teilintervalle I_k := (t_{k-1} | t_k) gibt, so dass für jedes k\in\{1,\ldots ,m\} eine Funktion g_k\in {\cal G} existiert deren offener Definitonsbereich den Abschluss von I_k umfasst (d.h. \overline I_k\subseteq \tn{dom} (g_k) gilt) und f(t) = g_k(t) für alle t\in I_k gilt. An den Teilintervallgrenzen gibt es bewusst keine Forderungen an f!

Bemerkungen:

  • Ist {\cal G} etwa die Menge aller stetigen komplex-wertigen Funktionen mit in \R offenen Definitionsbereichen, so spricht man bei f von einer stückweise stetigen Funktion! D.h. es darf endlich viele Unstetigkeitsstellen geben, in denen jedoch noch links- bzw. rechtseitige Grenzübergange exitieren.
  • Ist {\cal G} die Menge aller n-mal stetig-(reell)-differenzierbaren komplex-wertigen Funktionen (mit in \R offenen Definitionsbereichen und n\in\N ), so spricht man von einer stückweise n-mal stetig-(reell)-differenzierbaren Funktion! Somit ist f auf allen offenen Teilintervallen n-mal stetig-(reell)-differenzierbar und es existieren für alle Ableitungen die links- bzw. rechtsseiten Grenzübergänge zu den Teilintervallgrenzen.
  • Warnung: Aus der Rechteckschwingung f(t) := \tn{sign}(\sin(t))\ (t\in (-\infty |\infty ) ) entsteht jedoch nur nach Einschränkung auf ein beliebiges beschränktes Intervall I eine stückweise stetige Funktion f_{|_I}. Die nicht eingeschränkte Gesamtfunktion f ist hingegen nicht stückweise stetig, da sie 'unendlich' viele Sprungstellen besitzt!
Entry link: Funktionen mit stückweisen Eigenschaften

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Es sei eine stetige Funktion f: I \to \R auf einem Intervall I\subseteq \R sowie zwei Punkte a,b\in I mit a < b gegeben so, dass f_{| (a|b)} reell-differenzierbar ist. Dann gibt es eine Stelle \zeta\in (a|b) mit

f^{\prime }(\zeta ) = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}

Im Spezialfall f(a)=f(b) spircht man auch von Satz von Rolle.

Bemerkung:

Dieser Satz läßt sich nicht auf 'komplexwertige' reell-differenzierbare Funktionen erweitern wie bereits die Funktion \tn{cis}:\R \to \C zeigt, da wegen \tn{cis} (x) := \exp (j\cdot x) für x\in\R stets  \tn{cis} ^{\,\prime }(x) = j\cdot \exp (j\cdot x)\ne 0 gilt, aber dennoch für a = 0 und b=2\pi der obige Differenzenquotient gleich Null wird!

Entry link: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Satz von Darboux

Es sei D\subseteq\R offen in \R sowie f:D\to\R eine Funktion zu der eine reell-differenzierbare Stammfunktion existiert (d.h. es gibt F:D\to\R mit F^{\prime\, } = f). Des weiteren sei I \subseteq D ein bel. Intervall. Dann bildet das Abbild f(I) ebenfalls ein Intervall, d.h. zu je zwei Funktionswerten aus f(I) bzw. F^{\prime }(I) treten auch alle Werte dazwischen als Funktionswerte aus f(I) auf! (Zwischenwerteigenschaft

Bemerkungen:

Entry link: Satz von Darboux

Stammfunktion

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\}, D\subseteq\C sowie G\subseteq\mathbb{K} eine in \mathbb{K} offene Menge und G\subseteq \widetilde D\subseteq\mathbb{K}. Dann heißt F:\widetilde D\to\C eine Stammfunktion zu f:D\to\C , falls F_{|G} zumindest \mathbb{K}-differenzierbar ist, sowie


D\subseteq G\quad\mbox{ und }\quad F^{\,\prime }(z) = f(z) \qquad \mbox{f\"ur alle } z\in D


gilt! Ist \mathbb{K}=\R so spricht man auch von einer 'Stammfunktion im Reellen', während man im Fall \mathbb{K}=\C von einer 'Stammfunktion im Komplexen' redet!

Bemerkungen:

Entry link: Stammfunktion

Tangentenfunktion

Die Tangentenfunktion T_{x_0} zu einer im inneren Punkt x_0\in D_0\subseteq\R reell-differenzierbaren Funktion f:D_0\to \R ist definiert durch T_{x_0}(x) := f(x_0) + df_{x_0}(x-x_0) für x\in\R , wobei die Funktion df_{x_0} das Differential beschreibt!

 

Entry link: Tangentenfunktion

Taylorpolynom

Zu \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und einer m-mal \mathbb{K}-differenzierbaren Funktion f: D \to \C auf einem in \mathbb{K} offenen Definitionsbereich D\subseteq \mathbb{K} wird zu einem sogenannten Entwicklungspunkt z_0\in D und n\le m ein Näherungspolynom (das sogenannte Taylorpolynom zu f im Entwicklungspunkt z_0 der Ordnung n) durch

p_{f,n,z_0}(z) := \sum\limits_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}\cdot (z-z_0)^k \qquad (z\in \C )

bereitgestellt. Zur Abschätzung der Restfehlerfunktion (auch kurz Restglied genannt)

R_{f,n,z_0}(z) := f(z)-p_{f,n,z_0}(z) \quad (z\in D)

kann für n<m und z_0+t\cdot (z-z_0)\in D für alle t\in [0|1] die allgemeine Integraldarstellung

R_{f,n,z_0}(z) = \frac {(z-z_0)^{n+1}}{n!} \int\limits_0^1 (1-t)^n\cdot f^{(n+1)}(z_0+t\cdot (z-z_0))\,dt

verwendet werden. Ist darüber hinaus f auf B(z_0,R) \subseteq D\subseteq \C = \mathbb{K} mit R\in (0|\infty ) sogar komplex-differenzierbar, so ist f sogar bel. oft komplex-differenzierbar und es gilt:

\lim\limits_{n\to \infty } R_{f,n,z_0}(z) = 0 \quad (\text{ f\"ur }|z-z_0|<R)

bzw.

f(z) = \lim\limits_{n\to \infty } p_{f,n,z_0}(z) =: \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac {f^{(k)}(z_0)}{k!}\cdot (z-z_0)^k \quad (\text{ f\"ur } |z-z_0|<R)

 (Taylorreihendarstellunng von f im Entwicklungspunkt z_0)

Entry link: Taylorpolynom


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