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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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ELEMENTARE FUNKTIONEN

Argumentfunktion

Da durch Einschränkung der Versorfunktion (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') auf den standardisierten Winkelbereich D_0 := (-\pi | \pi] eine bijektive Abbildung \tn{cis}_{|D_0}: D_0 \to K(0,1) auf die Einheitskreislinie bereitgestellt wird, kann mittels der Umkehrfunktion durch 

\tn{arg}(z) := \left(\tn{cis}_{|D_0}\right)^{-1}\left( \frac z{|z|}\right)\quad (z\in\C\setminus\{0\})

jedem Punkt z\in\C\setminus\{0\} mit r := |z| >0 und \varphi := \tn{arg}(z) \in (-\pi | \pi] eine eindeutige bzw. standardisierte Polardarstellung

z = r\cdot\angle \varphi = r\cdot\tn{cis}(\varphi ) = |z|\cdot e^{j\cdot \tn{arg}(z)}

zugewiesen werden! Die Funktion \tn{arg}:\C\setminus\{0\}\to (-\pi |\pi ] wird dann als die (Standard-)Argumentfunktion bezeichnet.

Bemerkung:

Entry link: Argumentfunktion

Bijektivität

Eine Funktion f:A\to B heißt bijektiv (oder auch eine Bijektion), genau dann wenn sie injektiv und surjektiv ist! Die Umkehrrelation zu f bildet genau dann wieder eine Funktion f^{-1}:B \to A (Umkehrfunktion), wenn f bijektiv ist! Die Bijektivität garantiert, dass es zu jeder Vorgabe b\in B stets genau eine Lösung a\in A der Gleichung f(a)=b gibt.

Bemerkung: Es gelten im Falle der Bijektivität die Beziehungen f(f^{-1}(b))=b \tn{ f\"ur alle }b\in B als auch f^{-1}(f(a))=a \tn{ f\"ur alle }a\in A.

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Elementare reelle Funktionen

Eine Zusammenstellung aller elementaren reellen Funktionsverläufe (1-4: Schulmathematik, 5: Ergänzungen) steht Ihnen unter 'Reelle Funktionsverläufe im Überblick' im Kursbereich 'Begleitblätter' zur Verfügung!

Entry link: Elementare reelle Funktionen

Folgenbegriff

Es sei M eine beliebige nicht-leere Menge. Dann nennt man jede Funktion f:\N \to M auch eine Folge von Elementen aus M und verwendet für die Funktionswerte in der Regel die Index basierte Notation f_n := f(n) um den Aufzählungscharakter der Funktion zu verdeutlichen. Anstelle des Funktionssymbols f schreibt man dann alternativ auch (f_n)_{n\in\N }. Man spricht speziell von Zahlenfolgen, falls M einen Zahlkörper beschreibt. Besteht M speziell wieder aus Funktionen, so spricht man von Funktionenfolgen.

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Fundamentalsatz der Algebra

Der auf Gauß zurückgehende 'Fundamentalsatz der Algebra' besagt, dass jede komplexe Polynomfunktion q:\C\to\C mit n:=\tn{Grad}(p)\ge 1 mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt! Hieraus lässt sich (via n-facher Polynomdivision) die sogenannte faktorisierte Darstellung eines Polynoms erzeugen:

q(z) = \alpha\cdot (z-c_1)^{k_1}\cdots (z-c_m)^{k_m} \qquad (z\in\C )

Die komplexen Zahlen c_1,\ldots ,c_m\in\C benennen hierin (mit m\in\N ) alle paarweise verschiedenen Nullstellen von q wobei k_1,\ldots ,k_m\in\N die sogenannten Vielfachheiten der jeweiligen Nullstellen genannt werden und \alpha\in\C\setminus\{0\} den Koeffizienten der höchsten Potenz angibt! Es gilt stets n =\sum\limits_{\mu=1}^m k_{\mu }\ge m, d.h. das die Anzahl m der paarweise verschiedenen Nullstellen den Polynomgrad nicht übertreffen kann!

Bemerkung: Im Falle k_{\mu}=1 spricht man bei c_{\mu} auch von einer 'einfachen' Nullstelle, während man bei k_{\mu}=2 von einer 'doppelten' Nullstelle bzw. allgemein auch von einer 'k_{\mu}-fachen' Nullstelle des Polynoms q spricht!

Entry link: Fundamentalsatz der Algebra

Injektivität

Eine Funktion f:A\to B heißt injektiv (oder auch eine Injektion), genau dann wenn es zu jeder Vorgabe b\in B höchstens eine (d.h. entweder genau eine oder garkeine) Lösung a\in A der Gleichung f(a)=b gibt.

 

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Komplexe Logarithmusfunktion

Durch Einschränkung der Exponentialfunktion auf den sogenannten Fundamentalstreifen B :=\{z\in\C | -\pi < \tn{Im}(z) \le \pi \} (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') entsteht eine bijektive Abbildung \tn{exp}_{|B}: B\to\C\setminus\{0\} deren Umkehrfunktion \tn{ln} := \left(\tn{exp}_{|B}\right)^{-1}:\C\setminus\{0\} \to B die komplexe natürliche Logarithmusfunktion genannt wird. Durch Einschränkung auf die reelle Achse ergibt sich analog als Umkehrfunktion der bijektiven Abbildung \tn{exp}_{|\R }: \R\to (0|\infty ) die reelle natürliche Logarithmusfunktion \tn{ln}_{\R } := \left(\tn{exp}_{|\R}\right)^{-1}: (0|\infty ) \to \R als eine der elementaren Funktionen der Schulmathematik. Zwischen beiden Funktionen besteht der explizite Zusammenhang \tn{ln}(w) = \tn{ln}_{\R }(|w|) + j\cdot \tn{arg}(w) für alle w\in\C\setminus\{0\} welche die arithmetische Darstellung des Funktionwertes \tn{ln}(w) angibt. 

Bemerkung:

  • Die komplexe natürliche Logarithmusfunktion ist genau in den Punkten z\in\C\setminus (-\infty | 0] komplex-differenzierbar mit Ableitung \tn{ln}^{\prime }(z) = \frac 1z. Aufgrund der Unstetigkeit der Argumentfunktion für Punkte z\in (-\infty |0) ist auch \tn{ln} dort unstetig!
  • Die komplexe Logarithmusfunktion \tn{log}_a:\C\setminus\{0\} \to B_a zur Basis a\in\C\setminus\{0,1\} ist dann definiert durch \tn{log}_a(w) := \frac {\tn{ln}(w)}{\tn{ln}(a)} für w\in\C\setminus\{0\} und B_a := \{\frac z{\tn{ln}(a)} | z\in B \} und kehrt die Exponentialfunktion zur Basis a auf dem Fundamentalbereich B_a um, d.h. es gilt a^{\tn{log}_a(w)} = w \tn{ f\"ur alle } w\in\C\setminus\{0\}.
Entry link: Komplexe Logarithmusfunktion

Nullstellenmenge

Ist \mathbb{K} ein Zahlkörper, etwa \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und f:D\to \mathbb{K} eine Funktion mit einem beliebigen Definitionsbereich D\ne \emptyset , dann heißt die Menge

{\cal N}_f :=\{ a\in D | f(a) = 0\}

die Nullstellenmenge von f, sowie deren Elemente die Nullstellen der Funktion f.

Stellt eine Nullstelle z_0\in {\cal N}_f einen inneren Punkt von D dar und gibt es eine weitere in z_0 stetige Funktion g:D\to\C mit g(z_0)\ne 0 sowie eine natürliche Zahl k\in\N so, dass die Darstellung

f(z) = (z-z_0)^k\cdot g(z)\quad (z\in D)

gilt, so ist k hierdurch eindeutig festgelegt und heißt die Ordnung oder auch Vielfachheit der Nullstelle. (vgl. hierzu eine Anwendung im Kontext vom 'Fundamentalsatz der Algebra')

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Polstelle

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\}, sowie D\subseteq \mathbb{K} offen in \mathbb{K}. Dann heißt ein Punkt z_0\in D eine Polstelle der Funktion f:D\setminus\{z_0\}\to\C , falls

\lim\limits_{z\to z_0} \frac 1{f(z)} = 0

gilt. Im Falle, dass es eine in z_0 stetige Funktion g: D \to \C mit g(z_0)\ne 0 und eine natürliche Zahl k\in\N gibt so, dass die Darstellung

f(z) = \frac {g(z)}{(z-z_0)^k}\qquad (z\in D\setminus\{z_0\})

möglich ist, so ist die Zahl k eindeutig festgelegt und wird die Ordnung der Polstelle genannt! Typische Beispiele für Funktionen mit Polstellen findet man bei rationalen Funktionen. Dort lässt die die Menge aller Polstellen mit der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms identifizieren.

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Polynomdivision

Es sei \mathbb{K} ein Skalarbereich sowie p,q:\mathbb{K}\to \mathbb{K} zwei Polynomfunktionen, wobei q nicht-konstant sei, d.h. \tn{Grad}(q)\ge 1 gelten soll. Dann gibt es stets zwei eindeutig bestimmte Polynome r,s:\mathbb{K}\to \mathbb{K} mit \tn{Grad}(r)<\tn{Grad}(q) so, dass

p(z) = s(z)\cdot q(z) + r(z)\qquad (z\in \mathbb{K})

gilt! Hierbei bezeichnet r das Restpolynom der Division von p durch q.

Bemerkung:

  • In der Kodierungstheorie werden zwei Polynome als "äquivalent modulo q" bezeichnet, wenn beide bei Division durch q das gleiche Restpolynom besitzen!
  • Die praktische Durchführung einer Polynomdivision wird im Rahmen vieler Anwendungen (wie etwa der Partialbruchzerlegung) nötig und kann dabei in Analogie zum bekannten Algorithmus der 'schriftlichen Division' von ganzen Zahlen durchgeführt werden. Zur effizienten numerischen Berechnung wird oft das sogenannte 'Horner Schema' eingesetzt, welches zusätzliche Funktionsauswertungen gestattet.
Entry link: Polynomdivision


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