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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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ELEMENTARE FUNKTIONEN

Polynomfunktion

Es sei \mathbb{K} ein Zahlkörper, also etwa \mathbb{K}\in\{\R,\C\}, n\in\N sowie a_k\in \mathbb{K} für k\in\{0,\ldots ,n\}. Dann heißt jede Funktion p:\mathbb{K}\to\mathbb{K} der Bauform

p(z) := \sum\limits_{k=0}^n a_k\cdot z^k\qquad (z\in \mathbb{K})

eine Polynomfunktion mit den Koeffizienten a_0,\ldots ,a_n. Ist zudem a_n\ne 0, so heißt n der Grad der Polynomfunktion und man schreibt \tn{Grad}(p) :=n.

Bemerkung:

Entry link: Polynomfunktion

Rationale Funktionen

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\}, sowie p,q:\mathbb{K}\to \mathbb{K} zwei Polynomfunktionen mit \tn{Grad}(q)\in\N , dann heißt R:\mathbb{K}\setminus {\cal N}_q\to \mathbb{K} definiert durch

R(z) := \frac {p(z)}{q(z)}\quad (z\in \mathbb{K}\setminus {\cal N}_q)

eine (gebrochen) rationale Funktion über \mathbb{K}. Die Nullstellenmenge {\cal N}_q von q beschreibt hierbei die Menge der Definitionslücken von R.

Sind die Nullstellen von p und q verschieden, d.h. gilt {\cal N}_p \cap {\cal N}_q = \emptyset , so beschreibt {\cal N}_q zudem die Menge aller Polstellen von R, während {\cal N}_p = {\cal N}_R die Nullstellenmenge von R angibt. In diesem Falle nennt man das Maximum der Polynomgrade \tn{max} (\tn{Grad}(p),\tn{Grad}(q)) =: \tn{Grad}(R) auch den Grad der rationalen Funktion. Man nennt dann p auch 'das' Zählerpolynom bzw. q 'das' Nennerpolynom von R.

Bemerkung:

  • Man zählt die Polynomfunktionen ebenfalls zu den (unecht gebrochenen) rationalen Funktionen, indem man als Nennerpolynom zusätzlich von Null verschiedene Polynome vom  Grad eins zulässt.
  • Jede rationale Funktion über \C kann mittels einer sogenannten Partialbruchzerlegung in eine Summe einfacher rationaler Funktionen vom Grad eins (den sogenannten 'Partialbrüchen') und einer Polynomfunktion zerlegt werden! Diese Zerlegung bildet ein wichtiges Hilfsmittel bei der Bestimmung von Stammfunktionen, Laplace-Rücktransformationen als auch Taylorreihenentwicklungen.
Entry link: Rationale Funktionen

Sinuscardinalisfunktion

Zu jeder Vorgabe \alpha \in\C\setminus\{0\} heißt die dazu gebildete Funktion \tn{sinc}_{\alpha }:\C \to\C definiert durch

 

\tn{sinc}_{\alpha }(z) := \left\{\begin{array}{cl}\frac{\sin (\alpha\cdot z)}{\alpha\cdot z} & \tn{ falls } z\ne 0\\[10pt] 1 & \tn{ falls }z=0\end{array}\right.\qquad\qquad

 

für z\in\C eine komplexe Sinuscardinalisfunktion. Je nach dem Anwendungsumfeld wird eine dort übliche Vorgabe für \alpha stillschweigend unterstellt und nicht mehr explizit notiert!

 

Bemerkungen:

  • Im Falle \alpha = 1 wird im deutschsprachigen Umfeld auch \tn{si} := \tn{sinc}_{1} verwendet, während andernsorts dafür eher \tn{sinc} verbreitet ist.
  • Speziell in der Signaltheorie tritt die Sinuscardinalisfunktion oft mit \alpha = \pi auf, so dass in unterstützenden Softwareapplikationen (wie etwa MATLAB) \tn{sinc} := \tn{sinc}_{\pi } üblich ist. Sie stellt dabei die Fouriertransformierte des normierten Rechteckimpulssignales \tn{rect} dar und besitzt die Nullstellenmenge \Z\setminus\{0\} .
Entry link: Sinuscardinalisfunktion

Sprungfunktion

Die sogenannte Heavisidesche Sprungfunktion \sigma :\R \to \{0,\frac 12, 1\} wird für t\in\R definiert durch

\sigma (t) := \left\{\begin{array}{ll} 0 & \tn{ falls } t <0 \\ \frac 12 & \tn{ falls } t=0 \\ 1 & \tn{ falls } t>0\end{array}\right.

und bildet eine normierte Grundform zur Beschreibung verschiedenster Sprungvarianten, wie etwa der Signumfunktion \tn{sign}:\R \to \{-1,0,1\} , welche durch

\tn{sign} (t) := 2\cdot \sigma (t) -1 \qquad (t\in\R )

 das Vorzeichen einer reellen Zahl t charakterisiert! Der Nullpunkt stellt die einzige Sprungstelle der Funktion dar. Des weiteren ergibt sich die Definition der normierten Rechteckimpulsfunktion \tn{rect}:\R\to\{0,\frac 12, 1\} damit ebenfalls zu:

\tn{rect}(t) :=\sigma\left(t+\frac 12\right) - \sigma\left(t-\frac 12\right)\qquad (t\in\R )

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Surjektivität

Eine Funktion f:A\to B heißt surjektiv (oder auch eine Surjektion), genau dann wenn es zu jeder Vorgabe b\in B mindestens eine Lösung a\in A der Gleichung f(a)=b gibt.

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Versor

Die 2\pi -periodische, surjektive Funktion \tn{cis}:\R \to K(0,1) ordnet jeder reellen Zahl \varphi\in\R durch \tn{cis}(\varphi ):=e^{j\varphi } einen Punkt auf der Einheitskreislinie zu.  Man spricht in der Elektrotechnik auch von der Versorfunktion und schreibt \angle \varphi := \tn{cis}(\varphi ). Die Bezeichnung \tn{cis} soll an die alternative Darstellung durch die Euler'sche Identität \tn{cis}(\varphi ) = e^{j\varphi } = \cos (\varphi ) + j\cdot \sin (\varphi ) erinnern!

Bemerkung:

  • Durch \varphi\in [0|2\pi ) wird dabei die Länge des Kreisbogenweges mit Radius eins beschrieben, welcher sich ausgehend vom Punkt \tn{cis}(0) = 1 entgegen dem Uhrzeigersinn entlang der Einheitskreislinie bis zum Punkt \tn{cis}(\varphi ) erstreckt.
  • Da \tn{cis}_{|(-\pi | \pi]} injektiv ist, kann jedem Punkt w\in K(0,1) der Einheitskreislinie durch die Umkehrfunktion ein eindeutiger Standardpolarwinkel im Bereich (-\pi | \pi] zugeordnet werden. Dies führt schließlich zur Einführung der Argumentfunktion zur Bestimmung einer standardisierten Polardarstellung einer komplexen Zahl z\in\C\setminus\{0\}.
Entry link: Versor

INTEGRATION / INHALTSMESSUNG

Hauptsatz der Lebesgue-Integralrechnung

Es sei F: I\to\C reell-differenzierbar auf einem offenen Intervall I\subseteq\R a,b\in I mit a\le b sowie F^{\prime }: I\to\C Lebesgue-integrierbar über [a|b]. Dann gilt:

F(b) - F(a) = \int\limits_{[a|b]} F^{\prime }(t)\ d\lambda (t)

Im Spezialfall, dass F^{\prime } lediglich Riemann-integrierbar auf [a|b] ist, folgt hieraus insbesondere der Hauptsatz der Riemann-Integralrechnung.

Entry link: Hauptsatz der Lebesgue-Integralrechnung

Hauptsatz der Riemann-Integralrechnung

Es sei F: I\to\C reell-differenzierbar auf einem offenen Intervall I\subseteq\R , a,b\in I sowie F^{\prime }: I\to\C Riemann-integrierbar

von a nach b. Dann gilt:

F(b) - F(a) = \int\limits_a^b F^{\prime }(t)\ dt

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Mittelwertsatz der Integralrechnung

Es seien a,b\in\R mit a < b, sowie f:[a|b] \to \R eine stetige Funktion sowie g:[a|b] \to [0|\infty ) Riemann-integrierbar mit \int_a^b g(t)\,dt = 1 (normierte Gewichtungsfunktion). Dann gibt es stets ein \zeta \in (a|b) mit:

f(\zeta ) = \int_a^b f(t)\cdot g(t)\, dt =: \mu_f

Man spricht auch von einem 'integralen Mittelwert' \mu_f der Funktion f über dem Intervall [a|b] bzgl. der normierten Gewichtungsfunktion g.

Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt eine solche Gewichtungsfunktion einen Spezialfall für eine 'Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion' und man notiert dann meist p := g. Der Mittelwert \mu_f =: E(f) wird in diesem Kontext auch der Erwartungswert der 'Zufallsgöße' f genannt.

Entry link: Mittelwertsatz der Integralrechnung

Parallelotop

Es sei n,m\in\N mit n \le m sowie \vec a_1,\ldots ,\vec a_n, \vec x_0\in {\cal R}^m. Dann heißt die Punktmenge

{\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) := \left.\left\{\vec x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot \vec a_k\, \right |\, \alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in [0|1]\right\}

das von den Vektoren  \vec a_1,\ldots ,\vec a_n aufgespannte Paralleotop im {\cal R}^m mit Basispunkt \vec x_0. Die maximale Anzahl linear-unabhängiger Vektoren unter den aufspannenden Vektoren wird auch die Dimension des Paralleotops genannt.

Bemerkungen:

  • Im Falle n := 2\le m spricht man auch von einem Paralleogramm im {\cal R}^m. Sind zusätzlich die aufspannenden Vektoren \vec a_1,\vec a_2\in {\cal R}^m orthogonal bzgl. des euklidischen Skalarproduktes im {\cal R}^m, so spricht man von einem Rechteck - bzw. noch spezieller von einem Quadrat, falls auch noch |\vec a_1| = |\vec a_2| gilt.
  • Im Falle n := 3\le m spricht man auch von einem Spat, Parallelepiped oder Parallelflach im {\cal R}^m. Sind zusätzlich die aufspannenden Vektoren \vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\in {\cal R}^m paarweise orthogonal bzgl. des euklidischen Skalarproduktes im {\cal R}^m, so spricht man von einem Quader - bzw. noch spezieller von einem Würfel, falls auch noch |\vec a_1| = |\vec a_2| = |\vec a_3| gilt.
  • Betrachtet man mit A := (\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) die affin-lineare Vektorraumabbildung \vec f : {\cal R}^n \to {\cal R}^m definiert durch
                                    \vec f (\vec \alpha ) := \vec x_0 + A\cdot \vec \alpha\qquad (\vec \alpha\in {\cal R}^n)
    so beschreibt das Paralleotop {\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) gerade das Abbild des n-dimensionalen Einheitswürfels [0|1]^n = {\cal P}_{n,\vec 0}(\vec e_1,\ldots ,\vec e_n) durch die Funktion \vec f.
  • Einem n-dimensionalen Paralellotop im {\cal R}^m kann auf Grundlage des euklidischen Skalarproduktes ein n-dimensionaler Inhalt durch
                                   Vol_n({\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n)) := \sqrt {\tn{det}(G(A))} = \sqrt {\tn{det}(A^{tr}\cdot A)}
    wobei G(A) die Gram'sche Matrix zu A := (\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) bzgl. des euklidischen Skalarproduktes bezeichnet, zugeordnet werden! Für das euklidische Skalarprodukt gilt konkret G(A) = A^{tr}\cdot A - man beachte, das A eine m \times n Matrix aus n linear-unabhängigen Spaltenvektoren des {\cal R}^m beschreibt und die n \times n Matrix G(A) dann stets eine wohldefinierte positive Determinante besitzt! Die Definition erweitert sich in natürlicher Weise auch für linear-abhängige aufspannende Vektoren, wobei der n-dimensionale Inhalt dann den Wert Null annimmt.
  • Im Spezialfall n=m vereinfacht sich die Inhaltsberechnung eines n-dimensionalen Paralellotops im {\cal R}^n aufgrund des Determinanten-Multiplikationssatzes zweier n\times n Matrizen weiter zu:
                                   Vol_n({\cal P}_{n,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n)) = |\tn{det}(A)|
Entry link: Parallelotop


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