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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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INTEGRATION / INHALTSMESSUNG

partielle Integration

Falls u,v: I \to\C auf einem offenen Intervall I\subseteq \R reell-differenzierbar sind, a,b\in I und u^{\prime }, v^{\prime }: I \to \C Riemann-integrierbar von a nach b sind, so gilt:

\int\limits_a^b u(t)\cdot v^{\prime }(t)\ dt = u(t)\cdot v(t)\mathop{|}_{t=a}^{t=b} - \int\limits_a^b u^{\prime }(t)\cdot v(t)\ dt

Entry link: partielle Integration

Riemann-integrierbar

Eine komplexwertige Funktion F:I\to \C auf einem Intervall I\subseteq\R heißt Riemann-integrierbar genau dann, wenn für jedes a,b\in I das Riemann Integral von a nach b der reellwertigen Funktionen \tn{Re}\circ F, \tn{Im}\circ F:I\to\R existiert (vgl. hierzu die Definition der Riemann-Integrierbarkeit)! In diesem Falle schreibt man

\int\limits_a^b f(t)\ dt := \int\limits_a^b \tn{Re}(f(t))\ dt + j\cdot \int\limits_a^b \tn{Im}(f(t))\ dt

Bemerkung:

  • Die auf einem kompakten Intervall I beschränkten Funktionen die 'fast überall stetig' sind (d.h. das die Menge aller Unstetigkeitsstellen das eindimensionale Lebesgue'sche Inhaltsmaß Null besitzt, also eine 'eindimensionale Nullmenge' darstellt), charakterisieren genau die Menge aller Riemann-integrierbaren Funktionen auf I.
  • Somit ist sowohl die Addition als auch die Multiplikation zweier auf einem kompaktem Intervall I Riemann-integrierbarer Funktionen wieder Riemann-integrierbar!
  • Die Erweiterung der Integration auf 'Lebesgue-messbare' Integrationsbereiche im {\cal R}^n sowie Lebesgue-integrierbare Funktionen stellt in vielen Bereichen der Mathematik (wie etwa die der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik) die Grundlage für weitere Betrachtungen dar! Das Thema der 'Differentiation unter dem Integralzeichen' als auch die Frage nach der 'Integration von Grenzfunktiionen' können dort allgemein beantwortet werden! Die konkrete Berechnung deartiger Integrale kann zudem auf die geschachtelte 'mehrfache' Integration über eindimensionale Integrationsbereiche zurückgeführt werden! 
Entry link: Riemann-integrierbar

Substitutionsregel

Falls f: I\to\C stetig und \varphi : I_1 \to I reell-differenzierbar sowie \varphi^{\,\prime } zumindest Riemann-integrierbar ist mit I_1, I\subseteq\R offene Intervalle, so gilt für a,b\in I_1 :

\int\limits_a^b f(\underbrace{\varphi (t)}_{=:\tau })\cdot\underbrace{\varphi^{\prime }(t)\ dt}_{= d\tau } = \int\limits_{\varphi (a)}^{\varphi (b)} f(\tau )\ d\tau

Bemerkung:

Entry link: Substitutionsregel

TOPOLOGIE

abgeschlossene Hülle

Zu einer Menge M\subseteq\R^n definiert man deren abgeschlossene Hülle durch die Menge aller Grenzwerte, welche durch konvergente Folgen aus M möglich sind:

\overline{M} := \{\vec v \in\R^n |\ \left(\vec x_k\right)_{k\in\N } \in M^{\N } \wedge \vec v = \lim\limits_{k\to \infty } \vec x_k \}

Somit gilt stets M \subseteq \overline{M} . Ist sogar M = \overline{M} , so nennt man M eine 'abgeschlossene Menge'. Da jeder Vektor aus \R^2 umkehrbar-eindeutig durch eine komplexe Zahl ausgetauscht werden kann, übertragen sich die Begriffe insbesondere auch auf M\subseteq\C .

Entry link: abgeschlossene Hülle

Euklidisches Skalarprodukt

Als Grundlage der euklidischen Geometrie für den reellen Vektorraum {\cal R}^n der reellen Zahlenspalten mit n Komponenten wird das spezielle reelle Skalarprodukt g_e: {\cal R}^n\times {\cal R}^n \to \R \ (euklidisches Skalarprodukt) definiert durch

\vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_e := g_e(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot w_k \qquad (v,w\in {\cal R}^n)

(engl.: dotproduct) verwendet.

Damit wird die euklidische Längen- und Winkelmessung festgelegt durch:

  • |\vec v| := ||\vec v||_{g_e} := \sqrt{\vec v\bullet \vec v} \tn{ f\"ur } v\in {\cal R}^n\quad (euklidische Norm bzw. Betrag von \vec v)
  • \angle (\vec v,\vec w) := \arccos \left( \frac {\vec v\bullet \vec w}{|\vec v|\cdot |\vec w|}\right) \tn{ f\"ur } v,w\in {\cal R}^n\setminus\{\vec 0\}\quad (euklidischer Winkel zwischen \vec v und \vec w)

Bemerkungen:

  • Die Idee des Skalarproduktes kann in vielfältiger Weise als auf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden (vgl. allgemeines reelles Skalarprodukt oder auch komplexes Skalarprodukt).
  • Durch ein Skalarprodukt soll dabei stets bewertet werden wie stark ein Vektor einem anderen 'ähnelt'. Somit bewertet die 'Orthogonalität', d.h. g(v,w)=0, die maximale Unähnlichkeit von v und w.
Entry link: Euklidisches Skalarprodukt

Funktionen mit Mittelwerteigenschaft

Man sagt, das eine Funktion f:D\to\C in einem Punkt t\in D\subseteq \R die sogenannte Mittelwerteigenschaft besitzt genau dann, wenn f in t sowohl einen links- als auch rechtsseitigen Grenzwert besitzt deren arithmetischer Mittelwert den Funktionswert beschreibt:

f(t) = \dfrac {f(t+) + f(t-)}2

Bemerkungen:

  • Ist f in einem Punkt t\in D stetig, so besitzt f dort die Mittelwerteigenschaft.
  • Ist f in einem Punkt t\in D unstetig, so besagt die Mittelwerteigenschaft, das der Funktionswert "die halbe (natürliche) Sprunghöhe durchläuft".
  • Die Sprungfunktion \sigma besitzt in allen Punkten aus \R die Mittelwerteigenschaft.
  • Ist f im Punkt t\in D stetig, so besitzt selbst \sigma\cdot f dort noch die Mittelwerteigenschaft.
  • Betrachtet man für t\in\R die Funktionsvorschrift f(t) :=\sin (\frac {\pi }t) für t\ne 0 und f(0) := 0, so besitzt f im Punkt t=0 eine Unstetigkeitsstelle die keine Sprungstelle ist, d.h. für die keine links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte existieren! Daher besitzt f dort auch nicht die Mittelwerteigenschaft, obwohl f eine ungerade Funktion ist.
Entry link: Funktionen mit Mittelwerteigenschaft

Gram'sche Matrix

Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Skalarbereich \mathbb{K}\in\{\R,\C\} ,d.h. ein Vektorraum,  welcher von linear unabhängigen Vektoren b_1,\ldots b_n\in V aufgespannt wird (V = \tn{span}(b_1,\ldots b_n)). Dann kann jede in beiden Inputvariablen mindestens reell-lineare Funktion  g:V\times V \to \mathbb{K} welche zudem g(\alpha\cdot v_1,\beta \cdot v_2) = \overline \alpha \cdot \beta \cdot g(v_1,v_2) für alle v_1,v_2\in V und \alpha,\beta\in \mathbb{K} erfüllt, bzgl. der vorgegebenen Basis {\cal B} :=(b_1,\ldots b_n) eindeutig durch eine Matrix G({\cal B})=\left(g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} (Gram'sche Matrix) Zahlen via

g(v,w) = \sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^n \overline \alpha_k\cdot g_{k,l}({\cal B})\cdot \beta_l   mit   v=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot b_k   und   w=\sum\limits_{l=1}^n\beta_l\cdot b_l

(d.h. hierin benennen \alpha_k, \beta_l \in\mathbb{K} die 'Koordinaten' der Vektoren bzgl. der Basis {\cal B}) beschrieben werden. Die Matrixelemente sind zudem durch die Beziehung g_{k,l}({\cal B}) = g(b_k,b_l) charakterisiert.

Bemerkungen:

  • Verwendet man im Falle V={\cal R}^n die Standardbasis (\vec e_1,\ldots ,\vec e_n), so besitzt etwa das euklidische Skalarprodukt g_e  die Einheitsmatrix als Gram'sche Matrix und die Komponenten von Spaltenvektoren bilden gleichzeitig die Koordinaten bzgl. der Standardbasis.
  • Im {\cal R}^m mit n\le m ergibt sich etwas allgemeiner für bel. linear-unabhängige Vektoren \vec b_1,\ldots \vec b_n\in {\cal R}^m  und V := \tn{span}(\vec b_1,\ldots \vec b_n)\subseteq {\cal R}^m die Gram'sche Matrix zu {\cal B} := (\vec b_1,\ldots \vec b_n) bzgl. des euklidischen Skalarprodukts g_e konkret zu G({\cal B}) = {\cal B}^{tr}\cdot {\cal B} und bildet eine reelle positiv-definite Matrix mit (in diesem Falle notwendigerweise) positiver Determinante.
  • Ist \mathbb{K}=\R und die Gram'sche Matrix eine symmetrische und positiv-definite Matrix, so beschreibt die bilineare Funktion g stets ein reelles Skalarprodukt (auch Metriktensor oder metrischer Tensor genannt). Ist die Gram'sche Matrix lediglich symmetrisch und umkehrbar (bzw. regulär), so heißt g auch ein Pseudo-Metriktensor oder auch pseudometrischer Tensor. Diese werden im Rahmen der Relativitätstheorie (n=4) benötigt.
Entry link: Gram'sche Matrix

Grenzwertbildung von Funktionswerten

Es sei D\subseteq\C sowie f:D\to\C eine Funktion, sowie z_0\in \overline D\ (Abschluss der Menge D). Falls es eine Zahl g\in\C so gibt, dass für alle konvergenten Folgen (a_n)_{n\in\N } aus D mit Grenzwert z_0 auch die Folge der Funktionswerte stets gegen den gleichen Wert g = \lim\limits_{n\to\infty } f(a_n) konvergieren, dann schreibt man hierfür abkürzend: \lim\limits_{z\to z_0} f(z) = g.

Bemerkung:

  • Wie etwa die Funktion f:\R\setminus\{0\} \to\R definiert durch f(x) := \cos\left(\frac {\pi }x\right)\ (x\in\R\setminus\{0\})\ für z_0 := 0 zeigt, braucht eine solche Grenzwertbildung im allgemeinen nicht immer möglich zu sein!
  • Ist z_0\in D, so ist f genau dann stetig, wenn sogar \lim\limits_{z\to z_0} f(z) = f(z_0) gilt!
  • Ist speziell D\subseteq \R sowie x_o\in \overline D und betrachtet man die Einschränkungen von f auf D_+ := (x_o|\infty )\cap D oder D_- := (-\infty |x_o)\cap D, so schreibt man auch f(x_o+) := \lim\limits_{x\to x_o+} f(x) := \lim\limits_{x\to x_o} f_{|D_+}(x)\ (rechtsseitige Grenzwertbildung) bzw. f(x_o-) := \lim\limits_{x\to x_o-} f(x) := \lim\limits_{x\to x_o} f_{|D_-}(x)\ (linksseitige Grenzwertbildung)

 

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innerer Punkt

Ein Punkt \vec x\in M\subseteq \R^n heißt innerer Punkt von M (bzgl. des n-dimensionalen Grundraumes \R^n) genau dann, wenn es eine ganze Umgebung U := \{\vec v\in\R^n | |\vec v - \vec x| < r \} mit Radius r\in (0|\infty ) gibt, welche vollständig in M enthalten ist, also U\subseteq M gilt. Im Falle n=2 übertragen sich die Begriffe sinngemäß auf komplexe Zahlen anstelle der zweidimensionalen Vektoren sowie M\subseteq \C - im Falle n=1 verzichtet man natürlicherweise auf die Vektorschreibweise.

Man fasst alle inneren Punkte einer Menge M zum sogenannten 'offenen Kern von M' zusammen:

\underline{M} := \{\vec v\in M | \vec v \text{ ist innerer Punkt von } M\}

 

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Kompakte Punktmengen

Eine Menge M\subseteq\C heißt kompakt (oder auch ein Kompaktum) genau dann, wenn Sie abgeschlossen und beschränkt ist, d.h. M=\overline M gilt und es eine Zahl R\in (0|\infty ) gibt, so dass |z|<R \tn{ f\"ur alle } z\in M gilt!

Entry link: Kompakte Punktmengen


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