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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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TOPOLOGIE

Konvergenz von Zahlen- und Vektorfolgen

Eine Folge (a_n)_{n\in\N } komplexer Zahlen heißt konvergent mit Grenzwert g\in\C genau dann, wenn es zu jeder Vorgabe \varepsilon\in (0|\infty ) ein hierzu geeignetes n_0\in\N so gibt, dass für alle n\in\N mit n\ge n_0 die Folgenglieder a_n in der Kreisscheibe um g mit Radius \varepsilon liegen, d.h. also |a_n-g| < \varepsilon gilt.

Als Kurznotation dieser Aussage verwendet man: '\lim\limits_{n\to\infty } (a_n) = g' oder auch 'a_n\to g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty '

Der Begriff der Konvergenz erweitert sich in natürlicher Weise auf Folgen (\vec a_n)_{n\in\N } komplexer Zahlenspalten einer bel. endlichen Dimension, indem man die Existenz eines Grenzvektors \vec g fordert für den die Konvergenz der Zahlenfolge \lim\limits_{n\to\infty } |\vec a_n - \vec g| = 0 gezeigt werden kann. 

Als Kurznotation verwendet man auch hier : '\lim\limits_{n\to\infty }(\vec a_n) = \vec g' bzw. '\vec a_n\to \vec g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty '

Eine Zahlen- oder Vektorfolge die nicht konvergent ist heißt divergent.

Bemerkung:

  • Jede konvergente Folge ist beschränkt, jedoch nicht jede beschränkte Folge konvergent (wie etwa a_n := (-1)^n\ \ (n\in\N ) zeigt).
  • Gilt a_n\in (0|\infty ) für alle n\in\N als auch \lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0, so ist (a_n)_{n\in\N } nach oben unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen \infty ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' \lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = \infty .
  • Gilt analog a_n\in (-\infty |0) für alle n\in\N als auch \lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0, so ist (a_n)_{n\in\N } nach unten unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen -\infty ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' \lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = -\infty .
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Offene Punktmengen

Es sei n\in\N sowie V\in\{\R^n, \C\}. Eine Punktmenge M\subseteq V heißt eine in V offene Punktmenge (bzgl. des Grundraumes V) genau dann, wenn V\setminus M abgeschlossen ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass sie ausschließlich aus 'inneren' Punkten besteht, d.h. mit ihrem 'offenen Kern' (d.h. der Menge aller inneren Punkte \underline{M}) identisch ist.

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offener Kern

Zu M\subseteq\R^n bildet man die Menge aller innerer Punkte (bzgl. des Grundraumes \R^n)

\underline{M} := \{\vec v \in M | \vec v \text{ ist innerer Punkt von } M\}

und nennt diese (größte) offene Teilmenge von M den offenen Kern von M Es gilt M = \underline{M}  genau dann, wenn M selbst eine  'offene Menge' (bzgl. des Grundraumes \R^n) darstellt, d.h. wenn \R^n\setminus M abgeschlossen ist. Da jeder Vektor aus \R^2 umkehrbar-eindeutig durch eine komplexe Zahl ausgetauscht werden kann, übertragen sich die Begriffe insbesondere auch auf M\subseteq\C .

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Orthogonalität

Es sein V ein Vektorraum mit Skalarbereich \mathbb{K}\in\{\R,\C\} und g:V\times V \to\mathbb{K} eine in jeder der beiden Inputvariablen mindestens reell-lineare Funktion. Dann nennt man einen Vektor v\in V  orthogonal zu w\in V (bzgl. g) genau dann, wenn g(w,v) = 0 gilt.

Bemerkungen:

  • Wird etwa durch linear-unabhängige Vektoren b_1,\ldots ,b_n\in V via U := \tn{span}(b_1,\ldots ,b_n) ein Untervektorraum von V mit Basis {\cal B} := (b_1,\ldots ,b_n) beschrieben zu dem die Gram'sche Matrix G({\cal B}) = \left(g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} mit g_{k,l}({\cal B}) := g(b_k,b_l) umkehrbar (bzw. regulär) als auch die konjugiert-komplexe Umkehrmatrix \overline{G^{-1}({\cal B})} =: \widetilde G({\cal B}) =\left(\widetilde g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l} gegeben ist und gilt zudem für \alpha,\beta\in \mathbb{K} die Regel  g(\alpha\cdot u_1,\beta\cdot u_2) = \overline \alpha\cdot \beta\cdot g(u_1,u_2) für alle u_1,u_2\in U, so läßt sich mit Hilfe der zur Basis {\cal B} assoziierten Vektoren \widetilde b_k :=\sum\limits_{l=1}^n\widetilde g_{k,l}({\cal B})\cdot b_l\in U jeder Vektor v\in V durch die lineare orthogonale Projektion {\cal P}_U: V\to U auf U in einen eindeutigen Anteil u:={\cal P}_U(v) := \sum\limits_{k=1}^n g(\widetilde b_k,v)\cdot b_k\in U sowie einen dazu orthogonalen Rest u^{\perp } := v-u zerlegen! Insbesondere ergibt sich speziell {\cal P}_U(v) = v falls v\in U ist und damit die k-te Koordinate zu v\in U bzgl. der vorgegebenen Basis durch \underline {\widetilde b}_k(v):=g(\widetilde b_k,v). Man nennt die Koordinatenbestimmungsfunktionen \underline {\widetilde b}_1,\ldots, \underline {\widetilde b}_n auch 'duale Basisvektoren', während man \widetilde {\cal B} := ({\widetilde b}_1,\ldots, {\widetilde b}_n) als die zu {\cal B} 'reziproke Basis' von U bezeichnet. Oft werden anstelle der \widetilde { } Notation 'obere Indizes' sowie die Einstein'sche Summationskonvention verwendet.
  • Ist g sogar ein reelles Skalarprodukt, so entspricht die Orthogonalität zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren der Aussage, dass sie bzgl. der durch das Skalarprodukt eingeführten Winkelmessung einen Winkel von \frac {\pi }2=90° zueinander aufweisen! Eine derartige Winkelmessung ist jedoch bei einem komplexen Skalarprodukt nicht mehr möglich.
  • Bei Verwendung des euklidischen Skalarproduktes beschreibt die euklidische Winkelmessung den 'anschaulich-intuitiven' Winkelbegriff. 

 

 

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positiv-definite Matrix

Es sei \mathbb{K}\in\{\R , \C\} sowie A  eine (n\times n)-Matrix mit Zahlen aus \mathbb{K}. Dann heißt A  positiv-definit, genau dann wenn gilt:

\overline{\vec v^{\,tr}}\cdot A \cdot \vec v \in (0|\infty ) \tn{ f\"ur alle }\vec v\in \mathbb{K}^{(n,1)}\setminus\{\vec 0\}

Bemerkung:

  • Ist \overline A = A^{tr} so ist die positive Definitheit äquivalent damit, dass alle Eigenwerte der Matrix in (0|\infty ) liegen, also positive reelle Zahlen sind!
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Rand

Es sei n\in\N . Der Rand einer Menge M\subseteq\R^n (bzgl. des Grundraumes \R^n) ist definiert durch genau diejenigen Punkte der abgeschlossenen Hülle, welche 'keine' inneren Punkte von M darstellen:

\text{Rd}(M) := \overline{M} \setminus \underline{M}

Beispiele:

  • \text{Rd}\left(B_n\left(\vec 0,1\right)\right) = \{\vec x\in\R^n\ |\ |\vec x|=1\} =: S^{n-1}   (Einheitsspähre)
  • \text{Rd}\left([0|1]\cap \Q\right) =[0|1]
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Reelles Skalarprodukt

Es bezeichne V einen Vektorraum mit Skalarbereich \R . Dann heißt jede Funktion g:V\times V \to \R welche in mindestens einer Inputvariablen linear ist, ein reelles Pseudo-Skalarprodukt, falls g(v,w)=g(w,v) für alle v,w\in V  (Symmetrie) und g(v,v) \ge 0 für alle v\in V (g ist positiv-semi-definit) gilt! Gilt zusätzlich auch noch g(v,v)\ne 0 für v\in V\setminus\{\cal O\} (Definitheit), so nennt man g ein reelles Skalarprodukt. Man sagt dann, dass V zusammen mit g einen reellen Prähilbertraum bildet. Alternativ schreibt man auch je nach Anwendung <v,w>_g := g(v,w) =: <v||w> für v,w\in V.

Durch ein reelles Pseudo-Skalarprodukt kann für v,w\in V eine Längen- und Winkelmessung durch

  • ||v||_g := \sqrt{g(v,v)} \qquad (Norm bzw. Betrag oder auch Länge des Vektor v bzgl. g)
  • \angle_g (v,w) := \arccos \left( \frac {g(v,w)}{||v||_g\cdot ||w||_g}\right) \tn{ falls } ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g \qquad (Winkel zwischen zwei Vektoren v,w bzgl. g)

eingeführt werden, da aufgrund des positiv-semi-definiten Verhaltens von g stets |g(v,w)| \le ||v||_g\cdot ||w||_g (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung) gilt!

Bemerkungen:

  • Man sagt, dass zwei Vektoren v,w\in V mit g(v,w)=0 bzgl. g orthogonal zueinander sind. Falls ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g gilt, entspricht dies einem Winkel von \frac {\pi }2=90°.
  • In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann ein reelles Pseudo-Skalarprodukt bzgl. einer vorgegebenen Basis auch durch ihre Gram'sche Matrix charakterisiert werden.
  • Im Falle V:={\cal R}^n wird als Standardskalarprodukt das euklidische Skalarprodukt \vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_e := g_e(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot w_k (engl.: dotproduct) eingesetzt.
  • Der Begriff des Skalarproduktes kann mit einer leichten Abwandlung auch auf Vektorräume mit Skalarbereich \C verallgemeinert werden. Man spricht dann von einem komplexen Skalarprodukt bzw. einem komplexen Prähilbertraum.
  • In der Quantenphysik werden speziell die Notationen <v| und |w> zur Bildung eines Skalarproduktes <v||w> (BRA KET) verwendet!
  • Fasst man die Bedingung der Definitheit und das positiv-semi-definite Verhalten von g zusammen, so spricht man von der positiven Definitheit von g, d.h. es gilt  zusammengefasst g(v,v) > 0 für alle v\in V\setminus\{\cal O\}. Aufgrund der Symmetrie bildet g dann eine positiv-definite Bilinearform.
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Sprungstelle

Man sagt, das eine Funktion f:D\to\C in einem Punkt t\in D\subseteq \R eine (nicht hebbare) Sprungstelle besitzt genau dann, wenn f in t sowohl einen links- als auch rechtsseitigen Grenzwert besitzt und diese nicht übereinstimmen, d.h. also eine absolute natürliche Sprunghöhe

|f(t+) - f(t-)| > 0

vorliegt! Gilt hingegen f(t+) = f(t-) \ne f(t) so liegt lediglich eine (stetig-hebbare) Sprungstelle vor, da durch eine geeignete Abänderung des Funktionswertes f(t) eine in t stetige Funktion erhalten werden kann.

Bemerkungen:

  • Somit liegt in jeder Sprungstelle also auch stets eine Unstetigkeitsstelle vor!
  • Verläuft der tatsächliche Funktionswert f(t) durch den arithmetischen Mittelwert von f(t+) und f(t-) so spricht man von der sogenannten Mittelwerteigenschaft der Funktion in dem betrachteten Punkt.
  • Während also stetige Funktionen keine Sprungstellen besitzen können, so gibt es durchaus Funktionen ohne Sprungstellen die dennoch unstetig sind! Als Beispiel hierzu mag f(t) := \sin \left(\frac 1t\right)\quad (t\in\R\setminus\{0\}) und f(0) := 0 dienen. (Vgl. hierzu etwa auch den Satz von Darboux)
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Stetigkeit

Es sei z_0\in D\subseteq\C sowie f:D\to\C . Dann heißt f stetig im Punkt z_0 genau dann, falls für jede Zahlenfolge (a_n)_{n\in\N } aus D, welche mit Grenzwert z_0 konvergiert auch \lim\limits_{n\to\infty } f(a_n) = f(z_0) folgt! Ist f in allen Punkten aus D stetig, so nennt man auch die gesamte Funktion stetig.

Bemerkung:

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Teilfolge

Eine Folge (d_n)_{n\in\N } heißt eine Teilfolge einer Folge (a_n)_{n\in\N } genau dann, wenn es eine streng-monoton-steigende Folge (\mu_n)_{n\in\N } natürlicher Zahlen gibt, so dass d_n = a_{\mu_n} für alle n\in\N gilt! 

Bemerkung: So ist etwa mit \mu_n := n+1 die durch d_n := a_{n+1} für n\in\N festgelegte Folge (d_n)_{n\in\N } bereits eine Teilfolge von (a_n)_{n\in\N }.

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