Schlagwortkatalog


Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

All categories

Page: (Previous)   1  2  3  4  5  6
  ALL

TOPOLOGIE

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (engl.: cross product) zweier Vektoren \vec v,\vec w\in {\cal R}^3 legt (wie der Name schon sagt) einen weiteren Vektor des {\cal R}^3 fest, welcher jeweils zu \vec v als auch zu \vec w einen euklidischen Winkel von \frac {\pi }2=90° und als euklidische Länge den Flächeninhalt des von \vec v und \vec w aufgespannten Parallelogramms aufweist. Die Definition lautet:

\vec v \times \vec w := \sum\limits_{k=1}^3 \tn{det}(\vec v,\vec w,\vec e_k)\cdot\vec e_k= \left(\begin{array}{c}v_2w_3-v_3w_2\\ v_3w_1 - v_1w_3\\ v_1w_2 -v_2w_1\end{array}\right)\qquad (\tn{f\"ur }\vec v,\vec w\in {\cal R}^3)

Unter Verwendung der euklidischen Längen- und Winkelmessung (vgl. euklidisches Skalarprodukt) gilt für \vec a,\vec b,\vec c\in {\cal R}^3:

  • |\vec a\times \vec b| = |\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \sin (\angle (\vec a,\vec b))

  • \vec a\bullet (\vec b\times \vec c) = \tn{det}(\vec a,\vec b,\vec c)     (Spatprodukt)

 Bemerkung: Für n\in\N mit n\ge 2 und \vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1}\in {\cal R}^n kann in analoger Weise durch

\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1}) :=\sum\limits_{k=1}^n\tn{det}(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1},\vec e_k)\cdot \vec e_k\in {\cal R}^n

stets ein kanonischer Normalenvektor bereitgestellt werden, der bzgl. des euklidischen Skalarproduktes orthogonal zu allen vorgegebenen Vektoren \vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1} als auch zu allen Vektoren aus dem (n-1)-dimensionalen Untervektorrraum U := \tn{span}\{\vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1}\} steht und mit dem zusätzlich stets \tn{det}(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1},\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1}))\ge 0 gilt - man spricht dann von der 'positiven Orientiertheit' des geordneten Systems der Vektoren (\vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1},\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1})).

Entry link: Vektorprodukt

Zwischenwertsatz

Es sei D\subseteq \R  sowie f:D \to \R stetig und I \subseteq D ein bel. Intervall. Dann ist das Abbild f(I) ebenfalls ein Intervall in \R , d.h. zu je zwei Funktionswerten aus f(I) treten auch alle Werte dazwischen wieder als Funktionswerte in f(I) auf! (Zwischenwerteigenschaft)

Bemerkungen:

Entry link: Zwischenwertsatz


Page: (Previous)   1  2  3  4  5  6
  ALL