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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)


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Hauptsatz der Riemann-Integralrechnung

Es sei F: I\to\C reell-differenzierbar auf einem offenen Intervall I\subseteq\R , a,b\in I sowie F^{\prime }: I\to\C Riemann-integrierbar

von a nach b. Dann gilt:

F(b) - F(a) = \int\limits_a^b F^{\prime }(t)\ dt

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partielle Integration

Falls u,v: I \to\C auf einem offenen Intervall I\subseteq \R reell-differenzierbar sind, a,b\in I und u^{\prime }, v^{\prime }: I \to \C Riemann-integrierbar von a nach b sind, so gilt:

\int\limits_a^b u(t)\cdot v^{\prime }(t)\ dt = u(t)\cdot v(t)\mathop{|}_{t=a}^{t=b} - \int\limits_a^b u^{\prime }(t)\cdot v(t)\ dt

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Teilfolge

Eine Folge (d_n)_{n\in\N } heißt eine Teilfolge einer Folge (a_n)_{n\in\N } genau dann, wenn es eine streng-monoton-steigende Folge (\mu_n)_{n\in\N } natürlicher Zahlen gibt, so dass d_n = a_{\mu_n} für alle n\in\N gilt! 

Bemerkung: So ist etwa mit \mu_n := n+1 die durch d_n := a_{n+1} für n\in\N festgelegte Folge (d_n)_{n\in\N } bereits eine Teilfolge von (a_n)_{n\in\N }.

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Folgenbegriff

Es sei M eine beliebige nicht-leere Menge. Dann nennt man jede Funktion f:\N \to M auch eine Folge von Elementen aus M und verwendet für die Funktionswerte in der Regel die Index basierte Notation f_n := f(n) um den Aufzählungscharakter der Funktion zu verdeutlichen. Anstelle des Funktionssymbols f schreibt man dann alternativ auch (f_n)_{n\in\N }. Man spricht speziell von Zahlenfolgen, falls M einen Zahlkörper beschreibt. Besteht M speziell wieder aus Funktionen, so spricht man von Funktionenfolgen.

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Tangentenfunktion

Die Tangentenfunktion T_{x_0} zu einer im inneren Punkt x_0\in D_0\subseteq\R reell-differenzierbaren Funktion f:D_0\to \R ist definiert durch T_{x_0}(x) := f(x_0) + df_{x_0}(x-x_0) für x\in\R , wobei die Funktion df_{x_0} das Differential beschreibt!

 

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Kompakte Punktmengen

Eine Menge M\subseteq\C heißt kompakt (oder auch ein Kompaktum) genau dann, wenn Sie abgeschlossen und beschränkt ist, d.h. M=\overline M gilt und es eine Zahl R\in (0|\infty ) gibt, so dass |z|<R \tn{ f\"ur alle } z\in M gilt!

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Surjektivität

Eine Funktion f:A\to B heißt surjektiv (oder auch eine Surjektion), genau dann wenn es zu jeder Vorgabe b\in B mindestens eine Lösung a\in A der Gleichung f(a)=b gibt.

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Elementare reelle Funktionen

Eine Zusammenstellung aller elementaren reellen Funktionsverläufe (1-4: Schulmathematik, 5: Ergänzungen) steht Ihnen unter 'Reelle Funktionsverläufe im Überblick' im Kursbereich 'Begleitblätter' zur Verfügung!

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Komplexe Logarithmusfunktion

Durch Einschränkung der Exponentialfunktion auf den sogenannten Fundamentalstreifen B :=\{z\in\C | -\pi < \tn{Im}(z) \le \pi \} (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') entsteht eine bijektive Abbildung \tn{exp}_{|B}: B\to\C\setminus\{0\} deren Umkehrfunktion \tn{ln} := \left(\tn{exp}_{|B}\right)^{-1}:\C\setminus\{0\} \to B die komplexe natürliche Logarithmusfunktion genannt wird. Durch Einschränkung auf die reelle Achse ergibt sich analog als Umkehrfunktion der bijektiven Abbildung \tn{exp}_{|\R }: \R\to (0|\infty ) die reelle natürliche Logarithmusfunktion \tn{ln}_{\R } := \left(\tn{exp}_{|\R}\right)^{-1}: (0|\infty ) \to \R als eine der elementaren Funktionen der Schulmathematik. Zwischen beiden Funktionen besteht der explizite Zusammenhang \tn{ln}(w) = \tn{ln}_{\R }(|w|) + j\cdot \tn{arg}(w) für alle w\in\C\setminus\{0\} welche die arithmetische Darstellung des Funktionwertes \tn{ln}(w) angibt. 

Bemerkung:

  • Die komplexe natürliche Logarithmusfunktion ist genau in den Punkten z\in\C\setminus (-\infty | 0] komplex-differenzierbar mit Ableitung \tn{ln}^{\prime }(z) = \frac 1z. Aufgrund der Unstetigkeit der Argumentfunktion für Punkte z\in (-\infty |0) ist auch \tn{ln} dort unstetig!
  • Die komplexe Logarithmusfunktion \tn{log}_a:\C\setminus\{0\} \to B_a zur Basis a\in\C\setminus\{0,1\} ist dann definiert durch \tn{log}_a(w) := \frac {\tn{ln}(w)}{\tn{ln}(a)} für w\in\C\setminus\{0\} und B_a := \{\frac z{\tn{ln}(a)} | z\in B \} und kehrt die Exponentialfunktion zur Basis a auf dem Fundamentalbereich B_a um, d.h. es gilt a^{\tn{log}_a(w)} = w \tn{ f\"ur alle } w\in\C\setminus\{0\}.
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Injektivität

Eine Funktion f:A\to B heißt injektiv (oder auch eine Injektion), genau dann wenn es zu jeder Vorgabe b\in B höchstens eine (d.h. entweder genau eine oder garkeine) Lösung a\in A der Gleichung f(a)=b gibt.

 

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