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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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Hauptsatz der Riemann-Integralrechnung

Es sei $F: I\to\C$ reell-differenzierbar auf einem offenen Intervall $I\subseteq\R$ , $a,b\in I$ sowie $F^{\prime }: I\to\C$ Riemann-integrierbar

von $a$ nach $b$ . Dann gilt:

$F(b) - F(a) = \int\limits_a^b F^{\prime }(t)\ dt$

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partielle Integration

Falls $u,v: I \to\C$ auf einem offenen Intervall $I\subseteq \R$ reell-differenzierbar sind, $a,b\in I$ und $u^{\prime }, v^{\prime }: I \to \C$ Riemann-integrierbar von $a$ nach $b$ sind, so gilt:

$\int\limits_a^b u(t)\cdot v^{\prime }(t)\ dt = u(t)\cdot v(t)\mathop{|}_{t=a}^{t=b} - \int\limits_a^b u^{\prime }(t)\cdot v(t)\ dt$

Teilfolge

Eine Folge $(d_n)_{n\in\N }$ heißt eine Teilfolge einer Folge $(a_n)_{n\in\N }$ genau dann, wenn es eine streng-monoton-steigende Folge $(\mu_n)_{n\in\N }$ natürlicher Zahlen gibt, so dass $d_n = a_{\mu_n}$ für alle $n\in\N$ gilt!

Bemerkung: So ist etwa mit $\mu_n := n+1$ die durch $d_n := a_{n+1}$ für $n\in\N$ festgelegte Folge $(d_n)_{n\in\N }$ bereits eine Teilfolge von $(a_n)_{n\in\N }$ .

Folgenbegriff

Es sei $M$ eine beliebige nicht-leere Menge. Dann nennt man jede Funktion $f:\N \to M$ auch eine Folge von Elementen aus $M$ und verwendet für die Funktionswerte in der Regel die Index basierte Notation $f_n := f(n)$ um den Aufzählungscharakter der Funktion zu verdeutlichen. Anstelle des Funktionssymbols $f$ schreibt man dann alternativ auch $(f_n)_{n\in\N }$ . Man spricht speziell von Zahlenfolgen, falls $M$ einen Zahlkörper beschreibt. Besteht $M$ speziell wieder aus Funktionen, so spricht man von Funktionenfolgen.

Tangentenfunktion

Die Tangentenfunktion $T_{x_0}$ zu einer im inneren Punkt $x_0\in D_0\subseteq\R$ reell-differenzierbaren Funktion $f:D_0\to \R$ ist definiert durch $T_{x_0}(x) := f(x_0) + df_{x_0}(x-x_0)$ für $x\in\R$ , wobei die Funktion $df_{x_0}$ das Differential beschreibt!

Kompakte Punktmengen

Eine Menge $M\subseteq\C$ heißt kompakt (oder auch ein Kompaktum) genau dann, wenn Sie abgeschlossen und beschränkt ist, d.h. $M=\overline M$ gilt und es eine Zahl $R\in (0|\infty )$ gibt, so dass $|z|<R \tn{ f\"ur alle } z\in M$ gilt!

Surjektivität

Eine Funktion $f:A\to B$ heißt surjektiv (oder auch eine Surjektion), genau dann wenn es zu jeder Vorgabe $b\in B$ mindestens eine Lösung $a\in A$ der Gleichung $f(a)=b$ gibt.

Elementare reelle Funktionen

Eine Zusammenstellung aller elementaren reellen Funktionsverläufe (1-4: Schulmathematik, 5: Ergänzungen) steht Ihnen unter 'Reelle Funktionsverläufe im Überblick' im Kursbereich 'Begleitblätter' zur Verfügung!

Komplexe Logarithmusfunktion

Durch Einschränkung der Exponentialfunktion auf den sogenannten Fundamentalstreifen $B :=\{z\in\C | -\pi < \tn{Im}(z) \le \pi \}$ (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') entsteht eine bijektive Abbildung $\tn{exp}_{|B}: B\to\C\setminus\{0\}$ deren Umkehrfunktion $\tn{ln} := \left(\tn{exp}_{|B}\right)^{-1}:\C\setminus\{0\} \to B$ die komplexe natürliche Logarithmusfunktion genannt wird. Durch Einschränkung auf die reelle Achse ergibt sich analog als Umkehrfunktion der bijektiven Abbildung $\tn{exp}_{|\R }: \R\to (0|\infty )$ die reelle natürliche Logarithmusfunktion $\tn{ln}_{\R } := \left(\tn{exp}_{|\R}\right)^{-1}: (0|\infty ) \to \R$ als eine der elementaren Funktionen der Schulmathematik. Zwischen beiden Funktionen besteht der explizite Zusammenhang $\tn{ln}(w) = \tn{ln}_{\R }(|w|) + j\cdot \tn{arg}(w)$ für alle $w\in\C\setminus\{0\}$ welche die arithmetische Darstellung des Funktionwertes $\tn{ln}(w)$ angibt.

Bemerkung:

Die komplexe natürliche Logarithmusfunktion ist genau in den Punkten $z\in\C\setminus (-\infty | 0]$ komplex-differenzierbar mit Ableitung $\tn{ln}^{\prime }(z) = \frac 1z$ . Aufgrund der Unstetigkeit der Argumentfunktion für Punkte $z\in (-\infty |0)$ ist auch $\tn{ln}$ dort unstetig!
Die komplexe Logarithmusfunktion $\tn{log}_a:\C\setminus\{0\} \to B_a$ zur Basis $a\in\C\setminus\{0,1\}$ ist dann definiert durch $\tn{log}_a(w) := \frac {\tn{ln}(w)}{\tn{ln}(a)}$ für $w\in\C\setminus\{0\}$ und $B_a := \{\frac z{\tn{ln}(a)} | z\in B \}$ und kehrt die Exponentialfunktion zur Basis $a$ auf dem Fundamentalbereich $B_a$ um, d.h. es gilt $a^{\tn{log}_a(w)} = w \tn{ f\"ur alle } w\in\C\setminus\{0\}$ .

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Injektivität

Eine Funktion $f:A\to B$ heißt injektiv (oder auch eine Injektion), genau dann wenn es zu jeder Vorgabe $b\in B$ höchstens eine (d.h. entweder genau eine oder garkeine) Lösung $a\in A$ der Gleichung $f(a)=b$ gibt.

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