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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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A

abgeschlossene Hülle

Zu einer Menge $M\subseteq\R^n$ definiert man deren abgeschlossene Hülle durch die Menge aller Grenzwerte, welche durch konvergente Folgen aus $M$ möglich sind:

$\overline{M} := \{\vec v \in\R^n |\ \left(\vec x_k\right)_{k\in\N } \in M^{\N } \wedge \vec v = \lim\limits_{k\to \infty } \vec x_k \}$

Somit gilt stets $M \subseteq \overline{M}$ . Ist sogar $M = \overline{M}$ , so nennt man $M$ eine 'abgeschlossene Menge'. Da jeder Vektor aus $\R^2$ umkehrbar-eindeutig durch eine komplexe Zahl ausgetauscht werden kann, übertragen sich die Begriffe insbesondere auch auf $M\subseteq\C$ .

Ableitung

Eine in einem inneren Punkt $z_0\in D_0 \subseteq \mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ (bzgl. des Grundraumes $\mathbb{K}$ ) $\mathbb{K}$ -differenzierbare Funktion $f:D_0 \to \C$ besitzt im Punkte $z_0$ die sogenannte Ableitung $f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) \in \mathbb{K}$ . Gemäß der Definition der Differenzierbarkeit ergibt sich die Ableitung auch direkt durch die Grenzwertbildung:

$f^{\prime }(z_0) = \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac {f(z_0+h) - f(z_0)}{h}\right)$

Betrachtet man die Menge $D \subseteq D_0$ aller Punkte in denen $f\$ $\mathbb{K}$ -differenzierbar ist, so bildet $D$ eine 'offene' Teilmenge von $D_0$ auf der dann die Ableitungsfunktion $f^{\prime }:D \to \C$ definiert ist! Man nennt die Funktion $f$ auch eine Stammfunktion zu $f^{\prime }$ . (vgl. auch 'Ableitungstabelle')

Bemerkung:

Die Stetigkeit einer Funktion stellt bereits ein hinreichendes Kriterium zur Existenz von Stammfunktionen bereit wie der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung belegt!
Ableitungsfunktionen müssen jedoch im allgemeinen weder stetig, noch beschränkt oder auch nur Riemann- oder Lebesgue-integrierbar sein wie etwa die Ableitungsfunktion der reell-differenzierbaren Funktion $f:\R\to\R$ definiert durch $f(x) := x^2\cdot \sin \left(\frac 1{x^2}\right)\quad (x\in\R\setminus\{0\})$ und $f(0) := 0$ zeigt!
Unstetige Ableitungsfunktionen besitzen bemerkenswerterweise jedoch auch niemals Sprungstellen! (Vgl. Satz von Darboux)

Argumentfunktion

Da durch Einschränkung der Versorfunktion (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') auf den standardisierten Winkelbereich $D_0 := (-\pi | \pi]$ eine bijektive Abbildung $\tn{cis}_{|D_0}: D_0 \to K(0,1)$ auf die Einheitskreislinie bereitgestellt wird, kann mittels der Umkehrfunktion durch

$\tn{arg}(z) := \left(\tn{cis}_{|D_0}\right)^{-1}\left( \frac z{|z|}\right)\quad (z\in\C\setminus\{0\})$

jedem Punkt $z\in\C\setminus\{0\}$ mit $r := |z| >0$ und $\varphi := \tn{arg}(z) \in (-\pi | \pi]$ eine eindeutige bzw. standardisierte Polardarstellung

$z = r\cdot\angle \varphi = r\cdot\tn{cis}(\varphi ) = |z|\cdot e^{j\cdot \tn{arg}(z)}$

zugewiesen werden! Die Funktion $\tn{arg}:\C\setminus\{0\}\to (-\pi |\pi ]$ wird dann als die (Standard-)Argumentfunktion bezeichnet.

Bemerkung:

$\tn{arg}(r\cdot \tn{cis}(\varphi )) = \varphi$ nur wenn $\varphi \in (-\pi |\pi]$ und $r\in (0|\infty )$ gilt!
Es gilt $\tn{arg}(1)=0$ , $\tn{arg}(j) = \frac {\pi }2$ , $\tn{arg}(-1)=\pi$ , sowie $\tn{arg}(\alpha\cdot z)=\tn{arg}(z)$ falls $\alpha \in (0|\infty )$ und $\tn{arg}(\overline z)=-\tn{arg}(z)$ wobei $z\in\C\setminus (-\infty |0]$ - weitere Beispiele siehe Begleitblatt 'Standardpolarwinkel Übersicht'.
Die Argumentfunktion ist genau in den Punkten $z\in\C\setminus (-\infty |0]$ stetig, jedoch in keinem Punkt des Definitionsbereiches komplex-differenzierbar.

B

Bijektivität

Eine Funktion $f:A\to B$ heißt bijektiv (oder auch eine Bijektion), genau dann wenn sie injektiv und surjektiv ist! Die Umkehrrelation zu $f$ bildet genau dann wieder eine Funktion $f^{-1}:B \to A$ (Umkehrfunktion), wenn $f$ bijektiv ist! Die Bijektivität garantiert, dass es zu jeder Vorgabe $b\in B$ stets genau eine Lösung $a\in A$ der Gleichung $f(a)=b$ gibt.

Bemerkung: Es gelten im Falle der Bijektivität die Beziehungen $f(f^{-1}(b))=b \tn{ f\"ur alle }b\in B$ als auch $f^{-1}(f(a))=a \tn{ f\"ur alle }a\in A$ .

D

differenzierbar

Es sei $\mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ und $z_0\in D\subseteq \mathbb{K}$ ein innerer Punkt von $D$ (bzgl. des Grundraumes $\mathbb{K}$ ), dann heißt die Funktion $f:D\to\C$ kurz $\mathbb{K}$ -differenzierbar (oder auch reell-differenzierbar wenn $\mathbb{K}=\R$ , bzw. komplex-differenzierbar wenn $\mathbb{K}=\C$ ist) im Punkt $z_0$ , falls es eine $\mathbb{K}$ -lineare Funktion $df_{z_0}:\mathbb{K} \to\C$ gibt, welche die im (allg. nicht-lineare) Änderung $\Delta f_{z_0}(h) := f(z_0+h) - f(z_0)$ zur Schrittweite $h\in \mathbb{K}\setminus\{0\}, z_0+h\in D$ wie folgt annähert:

$\lim\limits_{h\to 0} \left(\frac {|\Delta f_{z_0}(h) - df_{z_0}(h)|}{|h|}\right) = 0$

Die $\mathbb{K}$ -lineare Funktion $df_{z_0}$ heißt das Differential von $f$ im Punkt $z_0$ , während die spezielle Zahl $f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1)$ die Ableitung von $f$ im Punkt $z_0$ genannt wird. Da das Differential eine ' $\mathbb{K}$ -lineare' Funktion ist ergibt sich dessen konkrete Gestalt zu:

$df_{z_0}(h) = df_{z_0}(1)\cdot h = f^{\prime }(z_0) \cdot h \qquad (h\in \mathbb{K})$

E

Elementare reelle Funktionen

Eine Zusammenstellung aller elementaren reellen Funktionsverläufe (1-4: Schulmathematik, 5: Ergänzungen) steht Ihnen unter 'Reelle Funktionsverläufe im Überblick' im Kursbereich 'Begleitblätter' zur Verfügung!

Euklidisches Skalarprodukt

Als Grundlage der euklidischen Geometrie für den reellen Vektorraum ${\cal R}^n$ der reellen Zahlenspalten mit $n$ Komponenten wird das spezielle reelle Skalarprodukt $g_e: {\cal R}^n\times {\cal R}^n \to \R \$ (euklidisches Skalarprodukt) definiert durch

$\vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_e := g_e(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot w_k \qquad (v,w\in {\cal R}^n)$

(engl.: dotproduct) verwendet.

Damit wird die euklidische Längen- und Winkelmessung festgelegt durch:

$|\vec v| := ||\vec v||_{g_e} := \sqrt{\vec v\bullet \vec v} \tn{ f\"ur } v\in {\cal R}^n\quad$ (euklidische Norm bzw. Betrag von $\vec v$ )
$\angle (\vec v,\vec w) := \arccos \left( \frac {\vec v\bullet \vec w}{|\vec v|\cdot |\vec w|}\right) \tn{ f\"ur } v,w\in {\cal R}^n\setminus\{\vec 0\}\quad$ (euklidischer Winkel zwischen $\vec v$ und $\vec w)$

Bemerkungen:

Die Idee des Skalarproduktes kann in vielfältiger Weise als auf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden (vgl. allgemeines reelles Skalarprodukt oder auch komplexes Skalarprodukt).
Durch ein Skalarprodukt soll dabei stets bewertet werden wie stark ein Vektor einem anderen 'ähnelt'. Somit bewertet die 'Orthogonalität', d.h. $g(v,w)=0$ , die maximale Unähnlichkeit von $v$ und $w$ .

F

Folgenbegriff

Es sei $M$ eine beliebige nicht-leere Menge. Dann nennt man jede Funktion $f:\N \to M$ auch eine Folge von Elementen aus $M$ und verwendet für die Funktionswerte in der Regel die Index basierte Notation $f_n := f(n)$ um den Aufzählungscharakter der Funktion zu verdeutlichen. Anstelle des Funktionssymbols $f$ schreibt man dann alternativ auch $(f_n)_{n\in\N }$ . Man spricht speziell von Zahlenfolgen, falls $M$ einen Zahlkörper beschreibt. Besteht $M$ speziell wieder aus Funktionen, so spricht man von Funktionenfolgen.

Fundamentalsatz der Algebra

Der auf Gauß zurückgehende 'Fundamentalsatz der Algebra' besagt, dass jede komplexe Polynomfunktion $q:\C\to\C$ mit $n:=\tn{Grad}(p)\ge 1$ mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt! Hieraus lässt sich (via $n$ -facher Polynomdivision) die sogenannte faktorisierte Darstellung eines Polynoms erzeugen:

$q(z) = \alpha\cdot (z-c_1)^{k_1}\cdots (z-c_m)^{k_m} \qquad (z\in\C )$

Die komplexen Zahlen $c_1,\ldots ,c_m\in\C$ benennen hierin (mit $m\in\N$ ) alle paarweise verschiedenen Nullstellen von $q$ wobei $k_1,\ldots ,k_m\in\N$ die sogenannten Vielfachheiten der jeweiligen Nullstellen genannt werden und $\alpha\in\C\setminus\{0\}$ den Koeffizienten der höchsten Potenz angibt! Es gilt stets $n =\sum\limits_{\mu=1}^m k_{\mu }\ge m$ , d.h. das die Anzahl $m$ der paarweise verschiedenen Nullstellen den Polynomgrad nicht übertreffen kann!

Bemerkung: Im Falle $k_{\mu}=1$ spricht man bei $c_{\mu}$ auch von einer 'einfachen' Nullstelle, während man bei $k_{\mu}=2$ von einer 'doppelten' Nullstelle bzw. allgemein auch von einer ' $k_{\mu}$ -fachen' Nullstelle des Polynoms $q$ spricht!

Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Es sei $f:I\to \C$ stetig auf einem offenen Intervall $I\subseteq\R$ . Dann gilt für jede Funktion $F: I \to\C$ :

$\begin{array}{c}\left(F\tn{ ist reell-differenzierbar mit } F^{\prime } = f \right) \\ \Leftrightarrow \\ \left(F(b) - F(a) = \int\limits_{a}^b f(t)\ dt \tn{ f\"ur alle }a,b\in I\right)\end{array}$

Bemerkung:

Während die obige Äquivalenz die Stetigkeit des Integranden benötigt, genügt bereits die Integrierbarkeit von $F^{\prime }$ um eine Berechnung des Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion zu ermöglichen. Man spricht dann auch kurz vom Hauptsatz der Differential- und Integralrechung (vgl. Hauptsatz der Riemann-Integralrechnung, Hauptsatz der Lebesgue-Integralrechnung).
Das die Stetigkeit des Integranden wichtig ist, zeigt etwa $F(x) := \int\limits_0 ^x \tn{sign}(t)\,dt =|x|\quad (x\in\R )$ . Da die unstetige Signumfunktion noch auf jedem kompakten Intervall Riemann-integrierbar ist, ist $F$ zwar wohldefiniert und auch stetig, jedoch nicht (reell-)differenzierbar im Nullpunkt.Die Signumfunktion besitzt also auch keine Stammfunktion auf ganz $\R$ !

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