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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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A

abgeschlossene Hülle

Zu einer Menge $M\subseteq\R^n$ definiert man deren abgeschlossene Hülle durch die Menge aller Grenzwerte, welche durch konvergente Folgen aus $M$ möglich sind:

$\overline{M} := \{\vec v \in\R^n |\ \left(\vec x_k\right)_{k\in\N } \in M^{\N } \wedge \vec v = \lim\limits_{k\to \infty } \vec x_k \}$

Somit gilt stets $M \subseteq \overline{M}$ . Ist sogar $M = \overline{M}$ , so nennt man $M$ eine 'abgeschlossene Menge'. Da jeder Vektor aus $\R^2$ umkehrbar-eindeutig durch eine komplexe Zahl ausgetauscht werden kann, übertragen sich die Begriffe insbesondere auch auf $M\subseteq\C$ .

Ableitung

Eine in einem inneren Punkt $z_0\in D_0 \subseteq \mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ (bzgl. des Grundraumes $\mathbb{K}$ ) $\mathbb{K}$ -differenzierbare Funktion $f:D_0 \to \C$ besitzt im Punkte $z_0$ die sogenannte Ableitung $f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) \in \mathbb{K}$ . Gemäß der Definition der Differenzierbarkeit ergibt sich die Ableitung auch direkt durch die Grenzwertbildung:

$f^{\prime }(z_0) = \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac {f(z_0+h) - f(z_0)}{h}\right)$

Betrachtet man die Menge $D \subseteq D_0$ aller Punkte in denen $f\$ $\mathbb{K}$ -differenzierbar ist, so bildet $D$ eine 'offene' Teilmenge von $D_0$ auf der dann die Ableitungsfunktion $f^{\prime }:D \to \C$ definiert ist! Man nennt die Funktion $f$ auch eine Stammfunktion zu $f^{\prime }$ . (vgl. auch 'Ableitungstabelle')

Bemerkung:

Die Stetigkeit einer Funktion stellt bereits ein hinreichendes Kriterium zur Existenz von Stammfunktionen bereit wie der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung belegt!
Ableitungsfunktionen müssen jedoch im allgemeinen weder stetig, noch beschränkt oder auch nur Riemann- oder Lebesgue-integrierbar sein wie etwa die Ableitungsfunktion der reell-differenzierbaren Funktion $f:\R\to\R$ definiert durch $f(x) := x^2\cdot \sin \left(\frac 1{x^2}\right)\quad (x\in\R\setminus\{0\})$ und $f(0) := 0$ zeigt!
Unstetige Ableitungsfunktionen besitzen bemerkenswerterweise jedoch auch niemals Sprungstellen! (Vgl. Satz von Darboux)

Argumentfunktion

Da durch Einschränkung der Versorfunktion (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') auf den standardisierten Winkelbereich $D_0 := (-\pi | \pi]$ eine bijektive Abbildung $\tn{cis}_{|D_0}: D_0 \to K(0,1)$ auf die Einheitskreislinie bereitgestellt wird, kann mittels der Umkehrfunktion durch

$\tn{arg}(z) := \left(\tn{cis}_{|D_0}\right)^{-1}\left( \frac z{|z|}\right)\quad (z\in\C\setminus\{0\})$

jedem Punkt $z\in\C\setminus\{0\}$ mit $r := |z| >0$ und $\varphi := \tn{arg}(z) \in (-\pi | \pi]$ eine eindeutige bzw. standardisierte Polardarstellung

$z = r\cdot\angle \varphi = r\cdot\tn{cis}(\varphi ) = |z|\cdot e^{j\cdot \tn{arg}(z)}$

zugewiesen werden! Die Funktion $\tn{arg}:\C\setminus\{0\}\to (-\pi |\pi ]$ wird dann als die (Standard-)Argumentfunktion bezeichnet.

Bemerkung:

$\tn{arg}(r\cdot \tn{cis}(\varphi )) = \varphi$ nur wenn $\varphi \in (-\pi |\pi]$ und $r\in (0|\infty )$ gilt!
Es gilt $\tn{arg}(1)=0$ , $\tn{arg}(j) = \frac {\pi }2$ , $\tn{arg}(-1)=\pi$ , sowie $\tn{arg}(\alpha\cdot z)=\tn{arg}(z)$ falls $\alpha \in (0|\infty )$ und $\tn{arg}(\overline z)=-\tn{arg}(z)$ wobei $z\in\C\setminus (-\infty |0]$ - weitere Beispiele siehe Begleitblatt 'Standardpolarwinkel Übersicht'.
Die Argumentfunktion ist genau in den Punkten $z\in\C\setminus (-\infty |0]$ stetig, jedoch in keinem Punkt des Definitionsbereiches komplex-differenzierbar.