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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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A

abgeschlossene Hülle

Zu einer Menge M\subseteq\R^n definiert man deren abgeschlossene Hülle durch die Menge aller Grenzwerte, welche durch konvergente Folgen aus M möglich sind:

\overline{M} := \{\vec v \in\R^n |\ \left(\vec x_k\right)_{k\in\N } \in M^{\N } \wedge \vec v = \lim\limits_{k\to \infty } \vec x_k \}

Somit gilt stets M \subseteq \overline{M} . Ist sogar M = \overline{M} , so nennt man M eine 'abgeschlossene Menge'. Da jeder Vektor aus \R^2 umkehrbar-eindeutig durch eine komplexe Zahl ausgetauscht werden kann, übertragen sich die Begriffe insbesondere auch auf M\subseteq\C .

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Ableitung

Eine in einem inneren Punkt z_0\in D_0 \subseteq \mathbb{K}\in\{\R,\C\} (bzgl. des Grundraumes \mathbb{K})   \mathbb{K}-differenzierbare Funktion f:D_0 \to \C besitzt im Punkte z_0 die sogenannte Ableitung f^{\prime }(z_0) := df_{z_0}(1) \in \mathbb{K}. Gemäß der Definition der Differenzierbarkeit ergibt sich die Ableitung auch direkt durch die Grenzwertbildung:

f^{\prime }(z_0) = \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac {f(z_0+h) - f(z_0)}{h}\right)

 

Betrachtet man die Menge D \subseteq D_0 aller Punkte in denen f\ \mathbb{K}-differenzierbar ist, so bildet D eine 'offene' Teilmenge von D_0 auf der dann die Ableitungsfunktion f^{\prime }:D \to \C definiert ist! Man nennt die Funktion f auch eine Stammfunktion zu f^{\prime }. (vgl. auch 'Ableitungstabelle')

Bemerkung:

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Argumentfunktion

Da durch Einschränkung der Versorfunktion (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') auf den standardisierten Winkelbereich D_0 := (-\pi | \pi] eine bijektive Abbildung \tn{cis}_{|D_0}: D_0 \to K(0,1) auf die Einheitskreislinie bereitgestellt wird, kann mittels der Umkehrfunktion durch 

\tn{arg}(z) := \left(\tn{cis}_{|D_0}\right)^{-1}\left( \frac z{|z|}\right)\quad (z\in\C\setminus\{0\})

jedem Punkt z\in\C\setminus\{0\} mit r := |z| >0 und \varphi := \tn{arg}(z) \in (-\pi | \pi] eine eindeutige bzw. standardisierte Polardarstellung

z = r\cdot\angle \varphi = r\cdot\tn{cis}(\varphi ) = |z|\cdot e^{j\cdot \tn{arg}(z)}

zugewiesen werden! Die Funktion \tn{arg}:\C\setminus\{0\}\to (-\pi |\pi ] wird dann als die (Standard-)Argumentfunktion bezeichnet.

Bemerkung:

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