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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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E

Elementare reelle Funktionen

Eine Zusammenstellung aller elementaren reellen Funktionsverläufe (1-4: Schulmathematik, 5: Ergänzungen) steht Ihnen unter 'Reelle Funktionsverläufe im Überblick' im Kursbereich 'Begleitblätter' zur Verfügung!

Euklidisches Skalarprodukt

Als Grundlage der euklidischen Geometrie für den reellen Vektorraum ${\cal R}^n$ der reellen Zahlenspalten mit $n$ Komponenten wird das spezielle reelle Skalarprodukt $g_e: {\cal R}^n\times {\cal R}^n \to \R \$ (euklidisches Skalarprodukt) definiert durch

$\vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_e := g_e(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot w_k \qquad (v,w\in {\cal R}^n)$

(engl.: dotproduct) verwendet.

Damit wird die euklidische Längen- und Winkelmessung festgelegt durch:

$|\vec v| := ||\vec v||_{g_e} := \sqrt{\vec v\bullet \vec v} \tn{ f\"ur } v\in {\cal R}^n\quad$ (euklidische Norm bzw. Betrag von $\vec v$ )
$\angle (\vec v,\vec w) := \arccos \left( \frac {\vec v\bullet \vec w}{|\vec v|\cdot |\vec w|}\right) \tn{ f\"ur } v,w\in {\cal R}^n\setminus\{\vec 0\}\quad$ (euklidischer Winkel zwischen $\vec v$ und $\vec w)$

Bemerkungen:

Die Idee des Skalarproduktes kann in vielfältiger Weise als auf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden (vgl. allgemeines reelles Skalarprodukt oder auch komplexes Skalarprodukt).
Durch ein Skalarprodukt soll dabei stets bewertet werden wie stark ein Vektor einem anderen 'ähnelt'. Somit bewertet die 'Orthogonalität', d.h. $g(v,w)=0$ , die maximale Unähnlichkeit von $v$ und $w$ .