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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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F

Folgenbegriff

Es sei M eine beliebige nicht-leere Menge. Dann nennt man jede Funktion f:\N \to M auch eine Folge von Elementen aus M und verwendet für die Funktionswerte in der Regel die Index basierte Notation f_n := f(n) um den Aufzählungscharakter der Funktion zu verdeutlichen. Anstelle des Funktionssymbols f schreibt man dann alternativ auch (f_n)_{n\in\N }. Man spricht speziell von Zahlenfolgen, falls M einen Zahlkörper beschreibt. Besteht M speziell wieder aus Funktionen, so spricht man von Funktionenfolgen.

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Fundamentalsatz der Algebra

Der auf Gauß zurückgehende 'Fundamentalsatz der Algebra' besagt, dass jede komplexe Polynomfunktion q:\C\to\C mit n:=\tn{Grad}(p)\ge 1 mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt! Hieraus lässt sich (via n-facher Polynomdivision) die sogenannte faktorisierte Darstellung eines Polynoms erzeugen:

q(z) = \alpha\cdot (z-c_1)^{k_1}\cdots (z-c_m)^{k_m} \qquad (z\in\C )

Die komplexen Zahlen c_1,\ldots ,c_m\in\C benennen hierin (mit m\in\N ) alle paarweise verschiedenen Nullstellen von q wobei k_1,\ldots ,k_m\in\N die sogenannten Vielfachheiten der jeweiligen Nullstellen genannt werden und \alpha\in\C\setminus\{0\} den Koeffizienten der höchsten Potenz angibt! Es gilt stets n =\sum\limits_{\mu=1}^m k_{\mu }\ge m, d.h. das die Anzahl m der paarweise verschiedenen Nullstellen den Polynomgrad nicht übertreffen kann!

Bemerkung: Im Falle k_{\mu}=1 spricht man bei c_{\mu} auch von einer 'einfachen' Nullstelle, während man bei k_{\mu}=2 von einer 'doppelten' Nullstelle bzw. allgemein auch von einer 'k_{\mu}-fachen' Nullstelle des Polynoms q spricht!

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Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

Es sei f:I\to \C stetig auf einem offenen Intervall I\subseteq\R . Dann gilt für jede Funktion F: I \to\C :

\begin{array}{c}\left(F\tn{ ist reell-differenzierbar mit } F^{\prime } = f \right) \\ \Leftrightarrow \\ \left(F(b) - F(a) = \int\limits_{a}^b f(t)\ dt \tn{ f\"ur alle }a,b\in I\right)\end{array}

 

Bemerkung:

 

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Funktionen mit Mittelwerteigenschaft

Man sagt, das eine Funktion f:D\to\C in einem Punkt t\in D\subseteq \R die sogenannte Mittelwerteigenschaft besitzt genau dann, wenn f in t sowohl einen links- als auch rechtsseitigen Grenzwert besitzt deren arithmetischer Mittelwert den Funktionswert beschreibt:

f(t) = \dfrac {f(t+) + f(t-)}2

Bemerkungen:

  • Ist f in einem Punkt t\in D stetig, so besitzt f dort die Mittelwerteigenschaft.
  • Ist f in einem Punkt t\in D unstetig, so besagt die Mittelwerteigenschaft, das der Funktionswert "die halbe (natürliche) Sprunghöhe durchläuft".
  • Die Sprungfunktion \sigma besitzt in allen Punkten aus \R die Mittelwerteigenschaft.
  • Ist f im Punkt t\in D stetig, so besitzt selbst \sigma\cdot f dort noch die Mittelwerteigenschaft.
  • Betrachtet man für t\in\R die Funktionsvorschrift f(t) :=\sin (\frac {\pi }t) für t\ne 0 und f(0) := 0, so besitzt f im Punkt t=0 eine Unstetigkeitsstelle die keine Sprungstelle ist, d.h. für die keine links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte existieren! Daher besitzt f dort auch nicht die Mittelwerteigenschaft, obwohl f eine ungerade Funktion ist.
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Funktionen mit stückweisen Eigenschaften

Es sei \emptyset \ne {\cal G} \subseteq \{g:D\to\C | D\subseteq \R \tn{ offen } \} eine Menge von Funktionen mit einer vorgegebenen Eigenschaft und \emptyset\ne I\subseteq\R ein Intervall mit linkem Randpunkt a und rechtem Randpunkt b. Man sagt dann, dass eine Funktion f:I\to\C stückweise aus {\cal G} ist genau dann, wenn es eine Zerlegung a=t_0 < t_1 < \cdots < t_m=b in m\in\N Teilintervalle I_k := (t_{k-1} | t_k) gibt, so dass für jedes k\in\{1,\ldots ,m\} eine Funktion g_k\in {\cal G} existiert deren offener Definitonsbereich den Abschluss von I_k umfasst (d.h. \overline I_k\subseteq \tn{dom} (g_k) gilt) und f(t) = g_k(t) für alle t\in I_k gilt. An den Teilintervallgrenzen gibt es bewusst keine Forderungen an f!

Bemerkungen:

  • Ist {\cal G} etwa die Menge aller stetigen komplex-wertigen Funktionen mit in \R offenen Definitionsbereichen, so spricht man bei f von einer stückweise stetigen Funktion! D.h. es darf endlich viele Unstetigkeitsstellen geben, in denen jedoch noch links- bzw. rechtseitige Grenzübergange exitieren.
  • Ist {\cal G} die Menge aller n-mal stetig-(reell)-differenzierbaren komplex-wertigen Funktionen (mit in \R offenen Definitionsbereichen und n\in\N ), so spricht man von einer stückweise n-mal stetig-(reell)-differenzierbaren Funktion! Somit ist f auf allen offenen Teilintervallen n-mal stetig-(reell)-differenzierbar und es existieren für alle Ableitungen die links- bzw. rechtsseiten Grenzübergänge zu den Teilintervallgrenzen.
  • Warnung: Aus der Rechteckschwingung f(t) := \tn{sign}(\sin(t))\ (t\in (-\infty |\infty ) ) entsteht jedoch nur nach Einschränkung auf ein beliebiges beschränktes Intervall I eine stückweise stetige Funktion f_{|_I}. Die nicht eingeschränkte Gesamtfunktion f ist hingegen nicht stückweise stetig, da sie 'unendlich' viele Sprungstellen besitzt!
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