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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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G

Gram'sche Matrix

Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Skalarbereich $\mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ ,d.h. ein Vektorraum, welcher von linear unabhängigen Vektoren $b_1,\ldots b_n\in V$ aufgespannt wird ( $V = \tn{span}(b_1,\ldots b_n)$ ). Dann kann jede in beiden Inputvariablen mindestens reell-lineare Funktion $g:V\times V \to \mathbb{K}$ welche zudem $g(\alpha\cdot v_1,\beta \cdot v_2) = \overline \alpha \cdot \beta \cdot g(v_1,v_2)$ für alle $v_1,v_2\in V$ und $\alpha,\beta\in \mathbb{K}$ erfüllt, bzgl. der vorgegebenen Basis ${\cal B} :=(b_1,\ldots b_n)$ eindeutig durch eine Matrix $G({\cal B})=\left(g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l}$ (Gram'sche Matrix) Zahlen via

$g(v,w) = \sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^n \overline \alpha_k\cdot g_{k,l}({\cal B})\cdot \beta_l$ mit $v=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot b_k$ und $w=\sum\limits_{l=1}^n\beta_l\cdot b_l$

(d.h. hierin benennen $\alpha_k, \beta_l \in\mathbb{K}$ die 'Koordinaten' der Vektoren bzgl. der Basis ${\cal B}$ ) beschrieben werden. Die Matrixelemente sind zudem durch die Beziehung $g_{k,l}({\cal B}) = g(b_k,b_l)$ charakterisiert.

Bemerkungen:

Verwendet man im Falle $V={\cal R}^n$ die Standardbasis $(\vec e_1,\ldots ,\vec e_n)$ , so besitzt etwa das euklidische Skalarprodukt $g_e$ die Einheitsmatrix als Gram'sche Matrix und die Komponenten von Spaltenvektoren bilden gleichzeitig die Koordinaten bzgl. der Standardbasis.
Im ${\cal R}^m$ mit $n\le m$ ergibt sich etwas allgemeiner für bel. linear-unabhängige Vektoren $\vec b_1,\ldots \vec b_n\in {\cal R}^m$ und $V := \tn{span}(\vec b_1,\ldots \vec b_n)\subseteq {\cal R}^m$ die Gram'sche Matrix zu ${\cal B} := (\vec b_1,\ldots \vec b_n)$ bzgl. des euklidischen Skalarprodukts $g_e$ konkret zu $G({\cal B}) = {\cal B}^{tr}\cdot {\cal B}$ und bildet eine reelle positiv-definite Matrix mit (in diesem Falle notwendigerweise) positiver Determinante.
Ist $\mathbb{K}=\R$ und die Gram'sche Matrix eine symmetrische und positiv-definite Matrix, so beschreibt die bilineare Funktion $g$ stets ein reelles Skalarprodukt (auch Metriktensor oder metrischer Tensor genannt). Ist die Gram'sche Matrix lediglich symmetrisch und umkehrbar (bzw. regulär), so heißt $g$ auch ein Pseudo-Metriktensor oder auch pseudometrischer Tensor. Diese werden im Rahmen der Relativitätstheorie ( $n=4$ ) benötigt.

Grenzwertbildung von Funktionswerten

Es sei $D\subseteq\C$ sowie $f:D\to\C$ eine Funktion, sowie $z_0\in \overline D\$ (Abschluss der Menge $D$ ). Falls es eine Zahl $g\in\C$ so gibt, dass für alle konvergenten Folgen $(a_n)_{n\in\N }$ aus $D$ mit Grenzwert $z_0$ auch die Folge der Funktionswerte stets gegen den gleichen Wert $g = \lim\limits_{n\to\infty } f(a_n)$ konvergieren, dann schreibt man hierfür abkürzend: $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = g$ .

Bemerkung:

Wie etwa die Funktion $f:\R\setminus\{0\} \to\R$ definiert durch $f(x) := \cos\left(\frac {\pi }x\right)\ (x\in\R\setminus\{0\})\$ für $z_0 := 0$ zeigt, braucht eine solche Grenzwertbildung im allgemeinen nicht immer möglich zu sein!
Ist $z_0\in D$ , so ist $f$ genau dann stetig, wenn sogar $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = f(z_0)$ gilt!
Ist speziell $D\subseteq \R$ sowie $x_o\in \overline D$ und betrachtet man die Einschränkungen von $f$ auf $D_+ := (x_o|\infty )\cap D$ oder $D_- := (-\infty |x_o)\cap D$ , so schreibt man auch $f(x_o+) := \lim\limits_{x\to x_o+} f(x) := \lim\limits_{x\to x_o} f_{|D_+}(x)\$ (rechtsseitige Grenzwertbildung) bzw. $f(x_o-) := \lim\limits_{x\to x_o-} f(x) := \lim\limits_{x\to x_o} f_{|D_-}(x)\$ (linksseitige Grenzwertbildung)