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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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K

Kompakte Punktmengen

Eine Menge $M\subseteq\C$ heißt kompakt (oder auch ein Kompaktum) genau dann, wenn Sie abgeschlossen und beschränkt ist, d.h. $M=\overline M$ gilt und es eine Zahl $R\in (0|\infty )$ gibt, so dass $|z|<R \tn{ f\"ur alle } z\in M$ gilt!

Komplexe Logarithmusfunktion

Durch Einschränkung der Exponentialfunktion auf den sogenannten Fundamentalstreifen $B :=\{z\in\C | -\pi < \tn{Im}(z) \le \pi \}$ (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') entsteht eine bijektive Abbildung $\tn{exp}_{|B}: B\to\C\setminus\{0\}$ deren Umkehrfunktion $\tn{ln} := \left(\tn{exp}_{|B}\right)^{-1}:\C\setminus\{0\} \to B$ die komplexe natürliche Logarithmusfunktion genannt wird. Durch Einschränkung auf die reelle Achse ergibt sich analog als Umkehrfunktion der bijektiven Abbildung $\tn{exp}_{|\R }: \R\to (0|\infty )$ die reelle natürliche Logarithmusfunktion $\tn{ln}_{\R } := \left(\tn{exp}_{|\R}\right)^{-1}: (0|\infty ) \to \R$ als eine der elementaren Funktionen der Schulmathematik. Zwischen beiden Funktionen besteht der explizite Zusammenhang $\tn{ln}(w) = \tn{ln}_{\R }(|w|) + j\cdot \tn{arg}(w)$ für alle $w\in\C\setminus\{0\}$ welche die arithmetische Darstellung des Funktionwertes $\tn{ln}(w)$ angibt.

Bemerkung:

Die komplexe natürliche Logarithmusfunktion ist genau in den Punkten $z\in\C\setminus (-\infty | 0]$ komplex-differenzierbar mit Ableitung $\tn{ln}^{\prime }(z) = \frac 1z$ . Aufgrund der Unstetigkeit der Argumentfunktion für Punkte $z\in (-\infty |0)$ ist auch $\tn{ln}$ dort unstetig!
Die komplexe Logarithmusfunktion $\tn{log}_a:\C\setminus\{0\} \to B_a$ zur Basis $a\in\C\setminus\{0,1\}$ ist dann definiert durch $\tn{log}_a(w) := \frac {\tn{ln}(w)}{\tn{ln}(a)}$ für $w\in\C\setminus\{0\}$ und $B_a := \{\frac z{\tn{ln}(a)} | z\in B \}$ und kehrt die Exponentialfunktion zur Basis $a$ auf dem Fundamentalbereich $B_a$ um, d.h. es gilt $a^{\tn{log}_a(w)} = w \tn{ f\"ur alle } w\in\C\setminus\{0\}$ .

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Komplexes Skalarprodukt

Es bezeichne $V$ einen Vektorraum mit Skalarbereich $\C$ . Dann heißt jede Funktion $g:V\times V \to \C$ welche in mindestens einer Inputvariablen linear ist, ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt, falls $g(v,w)=\overline{g(w,v)}$ für alle $v,w\in V$ (hermitesche Symmetrie) und $g(v,v) \in [0|\infty )$ für alle $v\in V$ (g ist positiv-semi-definit) gilt! Gilt zusätzlich auch noch $g(v,v)\ne 0$ für $v\in V\setminus\{\cal O\}$ (Definitheit), so nennt man g ein komplexes Skalarprodukt. Man sagt dann, dass $V$ zusammen mit $g$ einen komplexen Prähilbertraum bildet. Alternativ schreibt man auch je nach Anwendung $<v,w>_g := g(v,w) =: <v||w>$ für $v,w\in V$ .

Durch ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt kann für $v,w\in V$ eine Längen- und Winkelmessung durch

$||v||_g := \sqrt{g(v,v)} \qquad$ (Norm bzw. Betrag oder auch Länge des Vektor $v$ bzgl. $g$ )
$\angle_g (v,w) := \arccos \left( \frac {\tn{Re}(g(v,w))}{||v||_g\cdot ||w||_g}\right) \tn{ falls } ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g \qquad$ (Winkel zwischen zwei Vektoren $v,w$ bzgl. $g$ )

eingeführt werden, da aufgrund des positiv-semi-definiten Verhaltens von $g$ stets $|\tn{Re}(g(v,w))|\le |g(v,w)| \le ||v||_g\cdot ||w||_g$ (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung) gilt!

Bemerkungen:

Man sagt, dass zwei Vektoren $v,w\in V$ mit $g(v,w)=0$ bzgl. $g$ orthogonal zueinander sind. Falls $||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g$ gilt, entspricht dies einem Winkel von $\frac {\pi }2=90$ °. Umgekehrt impliziert ein Winkel von $\frac {\pi }2=90$ ° zwischen zwei Vektoren jedoch nicht mehr die Orthogonalität bzgl. $g$ , da dann lediglich $\tn{Re}(g(v,w))=0$ zu gelten braucht!
In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann ein reelles Pseudo-Skalarprodukt bzgl. einer vorgegebenen Basis auch durch ihre Gram'sche Matrix charakterisiert werden.
Im Falle $V:={\C}^n$ wird als Standardskalarprodukt das Skalarprodukt $\vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_{\C} := g_{\C}(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot \overline w_k$ (engl.: dotproduct) eingesetzt. Diese Produkt erweitert das bekannte euklidische Skalarprodukt des reellen Vektorraumes ${\cal R}^n$ .
Das komplexe Skalarprodukt ist durch formale Erweiterung des reellen Skalarproduktes entststanden.
In der Quantenphysik werden speziell die Notationen $<v|$ und $|w>$ zur Bildung eines Skalarproduktes $<v||w>$ (BRA KET) verwendet!
Fasst man die Bedingung der Definitheit und das positiv-semi-definite Verhalten von g zusammen, so spricht man von der positiven Definitheit von g, d.h. es gilt zusammengefasst $g(v,v) \in (0|\infty )$ für alle $v\in V\setminus\{\cal O\}$ . Fordert man die Linearität konkret in der 'zweiten' Komponente so spricht man speziell von einer positiv-definiten Sesquilinearform.

Konvergenz von Zahlen- und Vektorfolgen

Eine Folge $(a_n)_{n\in\N }$ komplexer Zahlen heißt konvergent mit Grenzwert $g\in\C$ genau dann, wenn es zu jeder Vorgabe $\varepsilon\in (0|\infty )$ ein hierzu geeignetes $n_0\in\N$ so gibt, dass für alle $n\in\N$ mit $n\ge n_0$ die Folgenglieder $a_n$ in der Kreisscheibe um $g$ mit Radius $\varepsilon$ liegen, d.h. also $|a_n-g| < \varepsilon$ gilt.

Als Kurznotation dieser Aussage verwendet man: ' $\lim\limits_{n\to\infty } (a_n) = g$ ' oder auch ' $a_n\to g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty$ '

Der Begriff der Konvergenz erweitert sich in natürlicher Weise auf Folgen $(\vec a_n)_{n\in\N }$ komplexer Zahlenspalten einer bel. endlichen Dimension, indem man die Existenz eines Grenzvektors $\vec g$ fordert für den die Konvergenz der Zahlenfolge $\lim\limits_{n\to\infty } |\vec a_n - \vec g| = 0$ gezeigt werden kann.

Als Kurznotation verwendet man auch hier : ' $\lim\limits_{n\to\infty }(\vec a_n) = \vec g$ ' bzw. ' $\vec a_n\to \vec g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty$ '

Eine Zahlen- oder Vektorfolge die nicht konvergent ist heißt divergent.

Bemerkung:

Jede konvergente Folge ist beschränkt, jedoch nicht jede beschränkte Folge konvergent (wie etwa $a_n := (-1)^n\ \ (n\in\N )$ zeigt).
Gilt $a_n\in (0|\infty )$ für alle $n\in\N$ als auch $\lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0$ , so ist $(a_n)_{n\in\N }$ nach oben unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen $\infty$ ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' $\lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = \infty$ .
Gilt analog $a_n\in (-\infty |0)$ für alle $n\in\N$ als auch $\lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0$ , so ist $(a_n)_{n\in\N }$ nach unten unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen $-\infty$ ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' $\lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = -\infty$ .