Schlagwortkatalog


Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

Browse the glossary using this index

Special | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z | ALL

K

Kompakte Punktmengen

Eine Menge M\subseteq\C heißt kompakt (oder auch ein Kompaktum) genau dann, wenn Sie abgeschlossen und beschränkt ist, d.h. M=\overline M gilt und es eine Zahl R\in (0|\infty ) gibt, so dass |z|<R \tn{ f\"ur alle } z\in M gilt!

Entry link: Kompakte Punktmengen

Komplexe Logarithmusfunktion

Durch Einschränkung der Exponentialfunktion auf den sogenannten Fundamentalstreifen B :=\{z\in\C | -\pi < \tn{Im}(z) \le \pi \} (vgl. hierzu auch das Begleitblatt 'Komplexe Exponentialfunktionen') entsteht eine bijektive Abbildung \tn{exp}_{|B}: B\to\C\setminus\{0\} deren Umkehrfunktion \tn{ln} := \left(\tn{exp}_{|B}\right)^{-1}:\C\setminus\{0\} \to B die komplexe natürliche Logarithmusfunktion genannt wird. Durch Einschränkung auf die reelle Achse ergibt sich analog als Umkehrfunktion der bijektiven Abbildung \tn{exp}_{|\R }: \R\to (0|\infty ) die reelle natürliche Logarithmusfunktion \tn{ln}_{\R } := \left(\tn{exp}_{|\R}\right)^{-1}: (0|\infty ) \to \R als eine der elementaren Funktionen der Schulmathematik. Zwischen beiden Funktionen besteht der explizite Zusammenhang \tn{ln}(w) = \tn{ln}_{\R }(|w|) + j\cdot \tn{arg}(w) für alle w\in\C\setminus\{0\} welche die arithmetische Darstellung des Funktionwertes \tn{ln}(w) angibt. 

Bemerkung:

  • Die komplexe natürliche Logarithmusfunktion ist genau in den Punkten z\in\C\setminus (-\infty | 0] komplex-differenzierbar mit Ableitung \tn{ln}^{\prime }(z) = \frac 1z. Aufgrund der Unstetigkeit der Argumentfunktion für Punkte z\in (-\infty |0) ist auch \tn{ln} dort unstetig!
  • Die komplexe Logarithmusfunktion \tn{log}_a:\C\setminus\{0\} \to B_a zur Basis a\in\C\setminus\{0,1\} ist dann definiert durch \tn{log}_a(w) := \frac {\tn{ln}(w)}{\tn{ln}(a)} für w\in\C\setminus\{0\} und B_a := \{\frac z{\tn{ln}(a)} | z\in B \} und kehrt die Exponentialfunktion zur Basis a auf dem Fundamentalbereich B_a um, d.h. es gilt a^{\tn{log}_a(w)} = w \tn{ f\"ur alle } w\in\C\setminus\{0\}.
Entry link: Komplexe Logarithmusfunktion

Komplexes Skalarprodukt

Es bezeichne V einen Vektorraum mit Skalarbereich \C . Dann heißt jede Funktion g:V\times V \to \C welche in mindestens einer Inputvariablen linear ist, ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt, falls g(v,w)=\overline{g(w,v)} für alle v,w\in V  (hermitesche Symmetrie) und g(v,v) \in [0|\infty ) für alle v\in V (g ist positiv-semi-definit) gilt! Gilt zusätzlich auch noch g(v,v)\ne 0 für v\in V\setminus\{\cal O\} (Definitheit), so nennt man g ein komplexes Skalarprodukt. Man sagt dann, dass V zusammen mit g einen komplexen Prähilbertraum bildet. Alternativ schreibt man auch je nach Anwendung <v,w>_g := g(v,w) =: <v||w> für v,w\in V.

Durch ein komplexes Pseudo-Skalarprodukt kann für v,w\in V eine Längen- und Winkelmessung durch

  • ||v||_g := \sqrt{g(v,v)} \qquad (Norm bzw. Betrag oder auch Länge des Vektor v bzgl. g)
  • \angle_g (v,w) := \arccos \left( \frac {\tn{Re}(g(v,w))}{||v||_g\cdot ||w||_g}\right) \tn{ falls } ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g \qquad (Winkel zwischen zwei Vektoren v,w bzgl. g)

eingeführt werden, da aufgrund des positiv-semi-definiten Verhaltens von g stets |\tn{Re}(g(v,w))|\le |g(v,w)| \le ||v||_g\cdot ||w||_g (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung) gilt!

Bemerkungen:

  • Man sagt, dass zwei Vektoren v,w\in V mit g(v,w)=0 bzgl. g orthogonal zueinander sind. Falls ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g gilt, entspricht dies einem Winkel von \frac {\pi }2=90°. Umgekehrt impliziert ein Winkel von \frac {\pi }2=90° zwischen zwei Vektoren jedoch nicht mehr die Orthogonalität bzgl. g, da dann lediglich  \tn{Re}(g(v,w))=0 zu gelten braucht!
  • In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann ein reelles Pseudo-Skalarprodukt bzgl. einer vorgegebenen Basis auch durch ihre Gram'sche Matrix charakterisiert werden.
  • Im Falle V:={\C}^n wird als Standardskalarprodukt das Skalarprodukt \vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_{\C} := g_{\C}(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot \overline w_k (engl.: dotproduct) eingesetzt. Diese Produkt erweitert das bekannte euklidische Skalarprodukt des reellen Vektorraumes {\cal R}^n.
  • Das komplexe Skalarprodukt ist durch formale Erweiterung des reellen Skalarproduktes entststanden.
  • In der Quantenphysik werden speziell die Notationen <v| und |w> zur Bildung eines Skalarproduktes <v||w> (BRA KET) verwendet!
  • Fasst man die Bedingung der Definitheit und das positiv-semi-definite Verhalten von g zusammen, so spricht man von der positiven Definitheit von g, d.h. es gilt  zusammengefasst g(v,v) \in (0|\infty ) für alle v\in V\setminus\{\cal O\}. Fordert man die Linearität konkret in der 'zweiten' Komponente so spricht man speziell von einer positiv-definiten Sesquilinearform.
Entry link: Komplexes Skalarprodukt

Konvergenz von Zahlen- und Vektorfolgen

Eine Folge (a_n)_{n\in\N } komplexer Zahlen heißt konvergent mit Grenzwert g\in\C genau dann, wenn es zu jeder Vorgabe \varepsilon\in (0|\infty ) ein hierzu geeignetes n_0\in\N so gibt, dass für alle n\in\N mit n\ge n_0 die Folgenglieder a_n in der Kreisscheibe um g mit Radius \varepsilon liegen, d.h. also |a_n-g| < \varepsilon gilt.

Als Kurznotation dieser Aussage verwendet man: '\lim\limits_{n\to\infty } (a_n) = g' oder auch 'a_n\to g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty '

Der Begriff der Konvergenz erweitert sich in natürlicher Weise auf Folgen (\vec a_n)_{n\in\N } komplexer Zahlenspalten einer bel. endlichen Dimension, indem man die Existenz eines Grenzvektors \vec g fordert für den die Konvergenz der Zahlenfolge \lim\limits_{n\to\infty } |\vec a_n - \vec g| = 0 gezeigt werden kann. 

Als Kurznotation verwendet man auch hier : '\lim\limits_{n\to\infty }(\vec a_n) = \vec g' bzw. '\vec a_n\to \vec g \quad \tn{f\"ur } n\to\infty '

Eine Zahlen- oder Vektorfolge die nicht konvergent ist heißt divergent.

Bemerkung:

  • Jede konvergente Folge ist beschränkt, jedoch nicht jede beschränkte Folge konvergent (wie etwa a_n := (-1)^n\ \ (n\in\N ) zeigt).
  • Gilt a_n\in (0|\infty ) für alle n\in\N als auch \lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0, so ist (a_n)_{n\in\N } nach oben unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen \infty ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' \lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = \infty .
  • Gilt analog a_n\in (-\infty |0) für alle n\in\N als auch \lim\limits_{n\to\infty }(\frac 1{a_n})=0, so ist (a_n)_{n\in\N } nach unten unbeschränkt und somit divergent (Divergenz gegen -\infty ). In diesem Falle notiert man auch 'symbolisch' \lim\limits_{n\to\infty }(a_n) = -\infty .
Entry link: Konvergenz von Zahlen- und Vektorfolgen