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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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L

Laplace Transformation

Die Laplace-Transformation \cal L ist eine lineare Funktion, welche es gestattet, jedes sogenannte  'zulässige' Signal u:\R \to \C in eine Ersatzfunktion \underline{U} := {\cal L}(u): H_u \to \C zu überführen, welche nun jedoch auf einer offenen komplexen Halbebene H_u := \{s\in\C | \tn{Re} (s) > \gamma_u\} (mit einem von u festgelegten kleinsten Wert \gamma_u \in \R ) durch eine Integralvorschrift definiert ist. Da diese Transformation unter geeigneten Zusatzbedingungen wieder rückgängig gemacht werden kann, wird durch die Ersatzfunktion eine zunächst 'interpretationsfreie' aber 'gleichwertige' Beschreibung des Signales angeboten!

Die Transformation erlangt ihre wichtige praktische Bedeutung bei der Anwendung auf stetig-(reell)-differenzierbare Funktionen u:\R \to \C , welche zusammen mit ihren Ableitungsfunktionen durch eine Produktbildung mit der Heavisideschen Sprungfunktion \sigma   zulässige Signale bilden. Es gilt dann für s\in H_{\sigma }\cap H_{\sigma\cdot u^{\prime }} \subseteq H_{\sigma\cdot u}:

{\cal L}(\sigma\cdot u^{\prime })(s) = s\cdot {\cal L}(\sigma\cdot u)(s) - u(0)

(Transformation von Ableitungsfunktionen)

Die Laplace-Transformation ist daher zur einfachen Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten wie sie etwa bei der Beschreibung linearer Systeme in der Regelungstechnik auftreten prädestiniert!

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