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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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M

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Es sei eine stetige Funktion f: I \to \R auf einem Intervall I\subseteq \R sowie zwei Punkte a,b\in I mit a < b gegeben so, dass f_{| (a|b)} reell-differenzierbar ist. Dann gibt es eine Stelle \zeta\in (a|b) mit

f^{\prime }(\zeta ) = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}

Im Spezialfall f(a)=f(b) spircht man auch von Satz von Rolle.

Bemerkung:

Dieser Satz läßt sich nicht auf 'komplexwertige' reell-differenzierbare Funktionen erweitern wie bereits die Funktion \tn{cis}:\R \to \C zeigt, da wegen \tn{cis} (x) := \exp (j\cdot x) für x\in\R stets  \tn{cis} ^{\,\prime }(x) = j\cdot \exp (j\cdot x)\ne 0 gilt, aber dennoch für a = 0 und b=2\pi der obige Differenzenquotient gleich Null wird!

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Mittelwertsatz der Integralrechnung

Es seien a,b\in\R mit a < b, sowie f:[a|b] \to \R eine stetige Funktion sowie g:[a|b] \to [0|\infty ) Riemann-integrierbar mit \int_a^b g(t)\,dt = 1 (normierte Gewichtungsfunktion). Dann gibt es stets ein \zeta \in (a|b) mit:

f(\zeta ) = \int_a^b f(t)\cdot g(t)\, dt =: \mu_f

Man spricht auch von einem 'integralen Mittelwert' \mu_f der Funktion f über dem Intervall [a|b] bzgl. der normierten Gewichtungsfunktion g.

Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt eine solche Gewichtungsfunktion einen Spezialfall für eine 'Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion' und man notiert dann meist p := g. Der Mittelwert \mu_f =: E(f) wird in diesem Kontext auch der Erwartungswert der 'Zufallsgöße' f genannt.

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