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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Es sei eine stetige Funktion $f: I \to \R$ auf einem Intervall $I\subseteq \R$ sowie zwei Punkte $a,b\in I$ mit $a < b$ gegeben so, dass $f_{| (a|b)}$ reell-differenzierbar ist. Dann gibt es eine Stelle $\zeta\in (a|b)$ mit

$f^{\prime }(\zeta ) = \frac {f(b) - f(a)}{b - a}$

Im Spezialfall $f(a)=f(b)$ spircht man auch von Satz von Rolle.

Bemerkung:

Dieser Satz läßt sich nicht auf 'komplexwertige' reell-differenzierbare Funktionen erweitern wie bereits die Funktion $\tn{cis}:\R \to \C$ zeigt, da wegen $\tn{cis} (x) := \exp (j\cdot x)$ für $x\in\R$ stets $\tn{cis} ^{\,\prime }(x) = j\cdot \exp (j\cdot x)\ne 0$ gilt, aber dennoch für $a = 0$ und $b=2\pi$ der obige Differenzenquotient gleich Null wird!

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Mittelwertsatz der Integralrechnung

Es seien $a,b\in\R$ mit $a < b$ , sowie $f:[a|b] \to \R$ eine stetige Funktion sowie $g:[a|b] \to [0|\infty )$ Riemann-integrierbar mit $\int_a^b g(t)\,dt = 1$ (normierte Gewichtungsfunktion). Dann gibt es stets ein $\zeta \in (a|b)$ mit:

$f(\zeta ) = \int_a^b f(t)\cdot g(t)\, dt =: \mu_f$

Man spricht auch von einem 'integralen Mittelwert' $\mu_f$ der Funktion $f$ über dem Intervall $[a|b]$ bzgl. der normierten Gewichtungsfunktion $g$ .

Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt eine solche Gewichtungsfunktion einen Spezialfall für eine 'Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion' und man notiert dann meist $p := g$ . Der Mittelwert $\mu_f =: E(f)$ wird in diesem Kontext auch der Erwartungswert der 'Zufallsgöße' $f$ genannt.