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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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O

Offene Punktmengen

Es sei $n\in\N$ sowie $V\in\{\R^n, \C\}$ . Eine Punktmenge $M\subseteq V$ heißt eine in $V$ offene Punktmenge (bzgl. des Grundraumes $V$ ) genau dann, wenn $V\setminus M$ abgeschlossen ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass sie ausschließlich aus 'inneren' Punkten besteht, d.h. mit ihrem 'offenen Kern' (d.h. der Menge aller inneren Punkte $\underline{M}$ ) identisch ist.

offener Kern

Zu $M\subseteq\R^n$ bildet man die Menge aller innerer Punkte (bzgl. des Grundraumes $\R^n$ )

$\underline{M} := \{\vec v \in M | \vec v \text{ ist innerer Punkt von } M\}$

und nennt diese (größte) offene Teilmenge von $M$ den offenen Kern von M. Es gilt $M = \underline{M}$ genau dann, wenn $M$ selbst eine 'offene Menge' (bzgl. des Grundraumes $\R^n$ ) darstellt, d.h. wenn $\R^n\setminus M$ abgeschlossen ist. Da jeder Vektor aus $\R^2$ umkehrbar-eindeutig durch eine komplexe Zahl ausgetauscht werden kann, übertragen sich die Begriffe insbesondere auch auf $M\subseteq\C$ .

Orthogonalität

Es sein $V$ ein Vektorraum mit Skalarbereich $\mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ und $g:V\times V \to\mathbb{K}$ eine in jeder der beiden Inputvariablen mindestens reell-lineare Funktion. Dann nennt man einen Vektor $v\in V$ orthogonal zu $w\in V$ (bzgl. $g$ ) genau dann, wenn $g(w,v) = 0$ gilt.

Bemerkungen:

Wird etwa durch linear-unabhängige Vektoren $b_1,\ldots ,b_n\in V$ via $U := \tn{span}(b_1,\ldots ,b_n)$ ein Untervektorraum von $V$ mit Basis ${\cal B} := (b_1,\ldots ,b_n)$ beschrieben zu dem die Gram'sche Matrix $G({\cal B}) = \left(g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l}$ mit $g_{k,l}({\cal B}) := g(b_k,b_l)$ umkehrbar (bzw. regulär) als auch die konjugiert-komplexe Umkehrmatrix $\overline{G^{-1}({\cal B})} =: \widetilde G({\cal B}) =\left(\widetilde g_{k,l}({\cal B})\right)_{k,l}$ gegeben ist und gilt zudem für $\alpha,\beta\in \mathbb{K}$ die Regel $g(\alpha\cdot u_1,\beta\cdot u_2) = \overline \alpha\cdot \beta\cdot g(u_1,u_2)$ für alle $u_1,u_2\in U$ , so läßt sich mit Hilfe der zur Basis ${\cal B}$ assoziierten Vektoren $\widetilde b_k :=\sum\limits_{l=1}^n\widetilde g_{k,l}({\cal B})\cdot b_l\in U$ jeder Vektor $v\in V$ durch die lineare orthogonale Projektion ${\cal P}_U: V\to U$ auf $U$ in einen eindeutigen Anteil $u:={\cal P}_U(v) := \sum\limits_{k=1}^n g(\widetilde b_k,v)\cdot b_k\in U$ sowie einen dazu orthogonalen Rest $u^{\perp } := v-u$ zerlegen! Insbesondere ergibt sich speziell ${\cal P}_U(v) = v$ falls $v\in U$ ist und damit die $k$ -te Koordinate zu $v\in U$ bzgl. der vorgegebenen Basis durch $\underline {\widetilde b}_k(v):=g(\widetilde b_k,v)$ . Man nennt die Koordinatenbestimmungsfunktionen $\underline {\widetilde b}_1,\ldots, \underline {\widetilde b}_n$ auch 'duale Basisvektoren', während man $\widetilde {\cal B} := ({\widetilde b}_1,\ldots, {\widetilde b}_n)$ als die zu ${\cal B}$ 'reziproke Basis' von $U$ bezeichnet. Oft werden anstelle der $\widetilde { }$ Notation 'obere Indizes' sowie die Einstein'sche Summationskonvention verwendet.
Ist $g$ sogar ein reelles Skalarprodukt, so entspricht die Orthogonalität zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren der Aussage, dass sie bzgl. der durch das Skalarprodukt eingeführten Winkelmessung einen Winkel von $\frac {\pi }2=90$ ° zueinander aufweisen! Eine derartige Winkelmessung ist jedoch bei einem komplexen Skalarprodukt nicht mehr möglich.
Bei Verwendung des euklidischen Skalarproduktes beschreibt die euklidische Winkelmessung den 'anschaulich-intuitiven' Winkelbegriff.