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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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P

Parallelotop

Es sei $n,m\in\N$ mit $n \le m$ sowie $\vec a_1,\ldots ,\vec a_n, \vec x_0\in {\cal R}^m$ . Dann heißt die Punktmenge

${\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n) := \left.\left\{\vec x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\cdot \vec a_k\, \right |\, \alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in [0|1]\right\}$

das von den Vektoren $\vec a_1,\ldots ,\vec a_n$ aufgespannte Paralleotop im ${\cal R}^m$ mit Basispunkt $\vec x_0$ . Die maximale Anzahl linear-unabhängiger Vektoren unter den aufspannenden Vektoren wird auch die Dimension des Paralleotops genannt.

Bemerkungen:

Im Falle $n := 2\le m$ spricht man auch von einem Paralleogramm im ${\cal R}^m$ . Sind zusätzlich die aufspannenden Vektoren $\vec a_1,\vec a_2\in {\cal R}^m$ orthogonal bzgl. des euklidischen Skalarproduktes im ${\cal R}^m$ , so spricht man von einem Rechteck - bzw. noch spezieller von einem Quadrat, falls auch noch $|\vec a_1| = |\vec a_2|$ gilt.
Im Falle $n := 3\le m$ spricht man auch von einem Spat, Parallelepiped oder Parallelflach im ${\cal R}^m$ . Sind zusätzlich die aufspannenden Vektoren $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\in {\cal R}^m$ paarweise orthogonal bzgl. des euklidischen Skalarproduktes im ${\cal R}^m$ , so spricht man von einem Quader - bzw. noch spezieller von einem Würfel, falls auch noch $|\vec a_1| = |\vec a_2| = |\vec a_3|$ gilt.
Betrachtet man mit $A := (\vec a_1,\ldots ,\vec a_n)$ die affin-lineare Vektorraumabbildung $\vec f : {\cal R}^n \to {\cal R}^m$ definiert durch
$\vec f (\vec \alpha ) := \vec x_0 + A\cdot \vec \alpha\qquad (\vec \alpha\in {\cal R}^n)$
so beschreibt das Paralleotop ${\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n)$ gerade das Abbild des $n$ -dimensionalen Einheitswürfels $[0|1]^n = {\cal P}_{n,\vec 0}(\vec e_1,\ldots ,\vec e_n)$ durch die Funktion $\vec f$ .
Einem $n$ -dimensionalen Paralellotop im ${\cal R}^m$ kann auf Grundlage des euklidischen Skalarproduktes ein $n$ -dimensionaler Inhalt durch
$Vol_n({\cal P}_{m,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n)) := \sqrt {\tn{det}(G(A))} = \sqrt {\tn{det}(A^{tr}\cdot A)}$
wobei $G(A)$ die Gram'sche Matrix zu $A := (\vec a_1,\ldots ,\vec a_n)$ bzgl. des euklidischen Skalarproduktes bezeichnet, zugeordnet werden! Für das euklidische Skalarprodukt gilt konkret $G(A) = A^{tr}\cdot A$ - man beachte, das $A$ eine $m \times n$ Matrix aus $n$ linear-unabhängigen Spaltenvektoren des ${\cal R}^m$ beschreibt und die $n \times n$ Matrix $G(A)$ dann stets eine wohldefinierte positive Determinante besitzt! Die Definition erweitert sich in natürlicher Weise auch für linear-abhängige aufspannende Vektoren, wobei der $n$ -dimensionale Inhalt dann den Wert Null annimmt.
Im Spezialfall $n=m$ vereinfacht sich die Inhaltsberechnung eines $n$ -dimensionalen Paralellotops im ${\cal R}^n$ aufgrund des Determinanten-Multiplikationssatzes zweier $n\times n$ Matrizen weiter zu:
$Vol_n({\cal P}_{n,\vec x_0}(\vec a_1,\ldots ,\vec a_n)) = |\tn{det}(A)|$

partielle Integration

Falls $u,v: I \to\C$ auf einem offenen Intervall $I\subseteq \R$ reell-differenzierbar sind, $a,b\in I$ und $u^{\prime }, v^{\prime }: I \to \C$ Riemann-integrierbar von $a$ nach $b$ sind, so gilt:

$\int\limits_a^b u(t)\cdot v^{\prime }(t)\ dt = u(t)\cdot v(t)\mathop{|}_{t=a}^{t=b} - \int\limits_a^b u^{\prime }(t)\cdot v(t)\ dt$

Polstelle

Es sei $\mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ , sowie $D\subseteq \mathbb{K}$ offen in $\mathbb{K}$ . Dann heißt ein Punkt $z_0\in D$ eine Polstelle der Funktion $f:D\setminus\{z_0\}\to\C$ , falls

$\lim\limits_{z\to z_0} \frac 1{f(z)} = 0$

gilt. Im Falle, dass es eine in $z_0$ stetige Funktion $g: D \to \C$ mit $g(z_0)\ne 0$ und eine natürliche Zahl $k\in\N$ gibt so, dass die Darstellung

$f(z) = \frac {g(z)}{(z-z_0)^k}\qquad (z\in D\setminus\{z_0\})$

möglich ist, so ist die Zahl $k$ eindeutig festgelegt und wird die Ordnung der Polstelle genannt! Typische Beispiele für Funktionen mit Polstellen findet man bei rationalen Funktionen. Dort lässt die die Menge aller Polstellen mit der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms identifizieren.

Polynomdivision

Es sei $\mathbb{K}$ ein Skalarbereich sowie $p,q:\mathbb{K}\to \mathbb{K}$ zwei Polynomfunktionen, wobei $q$ nicht-konstant sei, d.h. $\tn{Grad}(q)\ge 1$ gelten soll. Dann gibt es stets zwei eindeutig bestimmte Polynome $r,s:\mathbb{K}\to \mathbb{K}$ mit $\tn{Grad}(r)<\tn{Grad}(q)$ so, dass

$p(z) = s(z)\cdot q(z) + r(z)\qquad (z\in \mathbb{K})$

gilt! Hierbei bezeichnet $r$ das Restpolynom der Division von $p$ durch $q$ .

Bemerkung:

In der Kodierungstheorie werden zwei Polynome als "äquivalent modulo $q$ " bezeichnet, wenn beide bei Division durch $q$ das gleiche Restpolynom besitzen!
Die praktische Durchführung einer Polynomdivision wird im Rahmen vieler Anwendungen (wie etwa der Partialbruchzerlegung) nötig und kann dabei in Analogie zum bekannten Algorithmus der 'schriftlichen Division' von ganzen Zahlen durchgeführt werden. Zur effizienten numerischen Berechnung wird oft das sogenannte 'Horner Schema' eingesetzt, welches zusätzliche Funktionsauswertungen gestattet.

Polynomfunktion

Es sei $\mathbb{K}$ ein Zahlkörper, also etwa $\mathbb{K}\in\{\R,\C\}$ , $n\in\N$ sowie $a_k\in \mathbb{K}$ für $k\in\{0,\ldots ,n\}$ . Dann heißt jede Funktion $p:\mathbb{K}\to\mathbb{K}$ der Bauform

$p(z) := \sum\limits_{k=0}^n a_k\cdot z^k\qquad (z\in \mathbb{K})$

eine Polynomfunktion mit den Koeffizienten $a_0,\ldots ,a_n$ . Ist zudem $a_n\ne 0$ , so heißt $n$ der Grad der Polynomfunktion und man schreibt $\tn{Grad}(p) :=n$ .

Bemerkung:

Während Polynomfunktionen über dem Zahlkörper $\mathbb{K} := \R$ keine Nullstellen haben müssen, besagt der berühmte Fundamentalsatz der Algebra von Gauß, dass nicht-konstante Polynomfunktionen über dem Zahlkörper $\mathbb{K} := \C$ stets Nullstellen besitzen!
Polynomfunktionen $q:\C\to\C$ können zudem bei Kenntnis ihrer Nullstellenmenge ${\cal N}_q$ stets in eine faktorisierte Darstellung überführt werden! Diese Darstellung spielt bei der Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion eine wichtige Rolle.

positiv-definite Matrix

Es sei $\mathbb{K}\in\{\R , \C\}$ sowie $A$ eine $(n\times n)$ -Matrix mit Zahlen aus $\mathbb{K}$ . Dann heißt $A$ positiv-definit, genau dann wenn gilt:

$\overline{\vec v^{\,tr}}\cdot A \cdot \vec v \in (0|\infty ) \tn{ f\"ur alle }\vec v\in \mathbb{K}^{(n,1)}\setminus\{\vec 0\}$

Bemerkung:

Ist $\overline A = A^{tr}$ so ist die positive Definitheit äquivalent damit, dass alle Eigenwerte der Matrix in $(0|\infty )$ liegen, also positive reelle Zahlen sind!