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Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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R

Rand

Es sei n\in\N . Der Rand einer Menge M\subseteq\R^n (bzgl. des Grundraumes \R^n) ist definiert durch genau diejenigen Punkte der abgeschlossenen Hülle, welche 'keine' inneren Punkte von M darstellen:

\text{Rd}(M) := \overline{M} \setminus \underline{M}

Beispiele:

  • \text{Rd}\left(B_n\left(\vec 0,1\right)\right) = \{\vec x\in\R^n\ |\ |\vec x|=1\} =: S^{n-1}   (Einheitsspähre)
  • \text{Rd}\left([0|1]\cap \Q\right) =[0|1]
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Rationale Funktionen

Es sei \mathbb{K}\in\{\R,\C\}, sowie p,q:\mathbb{K}\to \mathbb{K} zwei Polynomfunktionen mit \tn{Grad}(q)\in\N , dann heißt R:\mathbb{K}\setminus {\cal N}_q\to \mathbb{K} definiert durch

R(z) := \frac {p(z)}{q(z)}\quad (z\in \mathbb{K}\setminus {\cal N}_q)

eine (gebrochen) rationale Funktion über \mathbb{K}. Die Nullstellenmenge {\cal N}_q von q beschreibt hierbei die Menge der Definitionslücken von R.

Sind die Nullstellen von p und q verschieden, d.h. gilt {\cal N}_p \cap {\cal N}_q = \emptyset , so beschreibt {\cal N}_q zudem die Menge aller Polstellen von R, während {\cal N}_p = {\cal N}_R die Nullstellenmenge von R angibt. In diesem Falle nennt man das Maximum der Polynomgrade \tn{max} (\tn{Grad}(p),\tn{Grad}(q)) =: \tn{Grad}(R) auch den Grad der rationalen Funktion. Man nennt dann p auch 'das' Zählerpolynom bzw. q 'das' Nennerpolynom von R.

Bemerkung:

  • Man zählt die Polynomfunktionen ebenfalls zu den (unecht gebrochenen) rationalen Funktionen, indem man als Nennerpolynom zusätzlich von Null verschiedene Polynome vom  Grad eins zulässt.
  • Jede rationale Funktion über \C kann mittels einer sogenannten Partialbruchzerlegung in eine Summe einfacher rationaler Funktionen vom Grad eins (den sogenannten 'Partialbrüchen') und einer Polynomfunktion zerlegt werden! Diese Zerlegung bildet ein wichtiges Hilfsmittel bei der Bestimmung von Stammfunktionen, Laplace-Rücktransformationen als auch Taylorreihenentwicklungen.
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Reelles Skalarprodukt

Es bezeichne V einen Vektorraum mit Skalarbereich \R . Dann heißt jede Funktion g:V\times V \to \R welche in mindestens einer Inputvariablen linear ist, ein reelles Pseudo-Skalarprodukt, falls g(v,w)=g(w,v) für alle v,w\in V  (Symmetrie) und g(v,v) \ge 0 für alle v\in V (g ist positiv-semi-definit) gilt! Gilt zusätzlich auch noch g(v,v)\ne 0 für v\in V\setminus\{\cal O\} (Definitheit), so nennt man g ein reelles Skalarprodukt. Man sagt dann, dass V zusammen mit g einen reellen Prähilbertraum bildet. Alternativ schreibt man auch je nach Anwendung <v,w>_g := g(v,w) =: <v||w> für v,w\in V.

Durch ein reelles Pseudo-Skalarprodukt kann für v,w\in V eine Längen- und Winkelmessung durch

  • ||v||_g := \sqrt{g(v,v)} \qquad (Norm bzw. Betrag oder auch Länge des Vektor v bzgl. g)
  • \angle_g (v,w) := \arccos \left( \frac {g(v,w)}{||v||_g\cdot ||w||_g}\right) \tn{ falls } ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g \qquad (Winkel zwischen zwei Vektoren v,w bzgl. g)

eingeführt werden, da aufgrund des positiv-semi-definiten Verhaltens von g stets |g(v,w)| \le ||v||_g\cdot ||w||_g (Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung) gilt!

Bemerkungen:

  • Man sagt, dass zwei Vektoren v,w\in V mit g(v,w)=0 bzgl. g orthogonal zueinander sind. Falls ||v||_g\ne 0 \ne ||w||_g gilt, entspricht dies einem Winkel von \frac {\pi }2=90°.
  • In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann ein reelles Pseudo-Skalarprodukt bzgl. einer vorgegebenen Basis auch durch ihre Gram'sche Matrix charakterisiert werden.
  • Im Falle V:={\cal R}^n wird als Standardskalarprodukt das euklidische Skalarprodukt \vec v\bullet \vec w := <\vec v,\vec w>_e := g_e(\vec v,\vec w) := \sum\limits_{k=1}^n v_k\cdot w_k (engl.: dotproduct) eingesetzt.
  • Der Begriff des Skalarproduktes kann mit einer leichten Abwandlung auch auf Vektorräume mit Skalarbereich \C verallgemeinert werden. Man spricht dann von einem komplexen Skalarprodukt bzw. einem komplexen Prähilbertraum.
  • In der Quantenphysik werden speziell die Notationen <v| und |w> zur Bildung eines Skalarproduktes <v||w> (BRA KET) verwendet!
  • Fasst man die Bedingung der Definitheit und das positiv-semi-definite Verhalten von g zusammen, so spricht man von der positiven Definitheit von g, d.h. es gilt  zusammengefasst g(v,v) > 0 für alle v\in V\setminus\{\cal O\}. Aufgrund der Symmetrie bildet g dann eine positiv-definite Bilinearform.
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Riemann-integrierbar

Eine komplexwertige Funktion F:I\to \C auf einem Intervall I\subseteq\R heißt Riemann-integrierbar genau dann, wenn für jedes a,b\in I das Riemann Integral von a nach b der reellwertigen Funktionen \tn{Re}\circ F, \tn{Im}\circ F:I\to\R existiert (vgl. hierzu die Definition der Riemann-Integrierbarkeit)! In diesem Falle schreibt man

\int\limits_a^b f(t)\ dt := \int\limits_a^b \tn{Re}(f(t))\ dt + j\cdot \int\limits_a^b \tn{Im}(f(t))\ dt

Bemerkung:

  • Die auf einem kompakten Intervall I beschränkten Funktionen die 'fast überall stetig' sind (d.h. das die Menge aller Unstetigkeitsstellen das eindimensionale Lebesgue'sche Inhaltsmaß Null besitzt, also eine 'eindimensionale Nullmenge' darstellt), charakterisieren genau die Menge aller Riemann-integrierbaren Funktionen auf I.
  • Somit ist sowohl die Addition als auch die Multiplikation zweier auf einem kompaktem Intervall I Riemann-integrierbarer Funktionen wieder Riemann-integrierbar!
  • Die Erweiterung der Integration auf 'Lebesgue-messbare' Integrationsbereiche im {\cal R}^n sowie Lebesgue-integrierbare Funktionen stellt in vielen Bereichen der Mathematik (wie etwa die der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik) die Grundlage für weitere Betrachtungen dar! Das Thema der 'Differentiation unter dem Integralzeichen' als auch die Frage nach der 'Integration von Grenzfunktiionen' können dort allgemein beantwortet werden! Die konkrete Berechnung deartiger Integrale kann zudem auf die geschachtelte 'mehrfache' Integration über eindimensionale Integrationsbereiche zurückgeführt werden! 
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Rundung (IEEE-754-Standard)

Entgegen dem weit verbreiteten 'kaufmännischen Runden' wird gemäß dem IEEE-754-Standard in den Ingenieurwissenschaften das 'symmetrische Runden' der numerischen Mathematik verwendet, welches sich darin unterscheidet, dass für Zahlen die 'exakt' zwischen dem Auf- und Abrundungsergebnis liegen (siehe Regel 3) stets zu einer 'geraden letzten Ziffer' (entweder auf- oder ab-) gerundet wird. Treten gerade und ungerade Ziffern  gleich häufig auf, so werden im Mittel dadurch keine willkürlichen Rundungsverzerrungen erzeugt, weswegen diese Rundungsart auch im Bankwesen (Bankers Rounding) verwendet wird!

Beispiel: (Symmetrisches Runden auf die 'zweite' Nachkommastelle in einer Dezimaldarstellung)

  • 2,12499 ≈ 2,12 (nach Regel 1)
  • 2,12501 ≈ 2,13 (nach Regel 2)
  • 2,12500 ≈ 2,12 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)
  • 2,13500 ≈ 2,14 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)

Rundungsregeln des symmetrischen Rundens nach dem IEEE-754-Standard:

  1. Folgt auf die letzte zu rundende Ziffernstelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet.
  2. Folgt auf die letzte zu rundende Ziffernstelle eine 5 (gefolgt von weiteren Ziffern, die 'nicht alle' null sind), 6, 7, 8 oder eine 9, so wird aufgerundet.
  3. Folgt auf die letzte zu rundende Ziffernstelle lediglich eine 5 (oder eine 5, auf die nur Nullen folgen), so wird derart gerundet, dass die letzte zu rundende Ziffer gerade wird.

 

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