Schlagwortkatalog


Mathematische Begriffe und Definitionen

(Aktuell noch im Aufbau! Anregungen erwünscht!)

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V

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (engl.: cross product) zweier Vektoren \vec v,\vec w\in {\cal R}^3 legt (wie der Name schon sagt) einen weiteren Vektor des {\cal R}^3 fest, welcher jeweils zu \vec v als auch zu \vec w einen euklidischen Winkel von \frac {\pi }2=90° und als euklidische Länge den Flächeninhalt des von \vec v und \vec w aufgespannten Parallelogramms aufweist. Die Definition lautet:

\vec v \times \vec w := \sum\limits_{k=1}^3 \tn{det}(\vec v,\vec w,\vec e_k)\cdot\vec e_k= \left(\begin{array}{c}v_2w_3-v_3w_2\\ v_3w_1 - v_1w_3\\ v_1w_2 -v_2w_1\end{array}\right)\qquad (\tn{f\"ur }\vec v,\vec w\in {\cal R}^3)

Unter Verwendung der euklidischen Längen- und Winkelmessung (vgl. euklidisches Skalarprodukt) gilt für \vec a,\vec b,\vec c\in {\cal R}^3:

  • |\vec a\times \vec b| = |\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \sin (\angle (\vec a,\vec b))

  • \vec a\bullet (\vec b\times \vec c) = \tn{det}(\vec a,\vec b,\vec c)     (Spatprodukt)

 Bemerkung: Für n\in\N mit n\ge 2 und \vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1}\in {\cal R}^n kann in analoger Weise durch

\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1}) :=\sum\limits_{k=1}^n\tn{det}(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1},\vec e_k)\cdot \vec e_k\in {\cal R}^n

stets ein kanonischer Normalenvektor bereitgestellt werden, der bzgl. des euklidischen Skalarproduktes orthogonal zu allen vorgegebenen Vektoren \vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1} als auch zu allen Vektoren aus dem (n-1)-dimensionalen Untervektorrraum U := \tn{span}\{\vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1}\} steht und mit dem zusätzlich stets \tn{det}(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1},\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1}))\ge 0 gilt - man spricht dann von der 'positiven Orientiertheit' des geordneten Systems der Vektoren (\vec v_1,\ldots , \vec v_{n-1},\vec N(\vec v_1,\ldots ,\vec v_{n-1})).

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Versor

Die 2\pi -periodische, surjektive Funktion \tn{cis}:\R \to K(0,1) ordnet jeder reellen Zahl \varphi\in\R durch \tn{cis}(\varphi ):=e^{j\varphi } einen Punkt auf der Einheitskreislinie zu.  Man spricht in der Elektrotechnik auch von der Versorfunktion und schreibt \angle \varphi := \tn{cis}(\varphi ). Die Bezeichnung \tn{cis} soll an die alternative Darstellung durch die Euler'sche Identität \tn{cis}(\varphi ) = e^{j\varphi } = \cos (\varphi ) + j\cdot \sin (\varphi ) erinnern!

Bemerkung:

  • Durch \varphi\in [0|2\pi ) wird dabei die Länge des Kreisbogenweges mit Radius eins beschrieben, welcher sich ausgehend vom Punkt \tn{cis}(0) = 1 entgegen dem Uhrzeigersinn entlang der Einheitskreislinie bis zum Punkt \tn{cis}(\varphi ) erstreckt.
  • Da \tn{cis}_{|(-\pi | \pi]} injektiv ist, kann jedem Punkt w\in K(0,1) der Einheitskreislinie durch die Umkehrfunktion ein eindeutiger Standardpolarwinkel im Bereich (-\pi | \pi] zugeordnet werden. Dies führt schließlich zur Einführung der Argumentfunktion zur Bestimmung einer standardisierten Polardarstellung einer komplexen Zahl z\in\C\setminus\{0\}.
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